Tags: jacobian

Matematicheskoe: Jacobian Conjecture

Тут недавно обсуждали гипотезу якобиана, пара ссылок:

http://www.livejournal.com/community/ru_math/184784.html
http://www.livejournal.com/users/sowa/52198.html
http://www.livejournal.com/users/sowa/52534.html

Мне данная проблема интересна не столь с алгебраической, сколь с аналитической точки зрения. В случае справедливости - имеем широкий класс отображений, для которых из локальной диффеоморфности следует глобальная.

Сегодня намереваюсь поизучать статью

Bass, Hyman; Connell, Edwin H.; Wright, David. The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), no. 2, 287--330.

Если же вкратце, то известно, что из инъективности полиномильного отображения следует сюръективность, и обратное отображение будет необходимо полиномиальным.

В упомянутой статье товарищи записали обратное отображение в виде степенного ряда, и задача сводится к тому, чтобы доказать, что на самом деле те ряды являются полиномами.

Более того, они редуцировали проблему к справедливости для отображений вида F(x)=x-H(x), где H(x)=(H_1,...,H_n) - однородные полиномы третьей степени, и H'(x) - нильпотентная матрица.

Осталось доказать глобальную инъективность отображений данного специального вида. Более того, известно(P.Rabier), что если для любого x, H'(x)*H'(x)x=0, то гипотеза верна.

Matematicheskoe: Отображения с ненулевым якобианом

Тут, ignat упомянул, что, возможно, доказана гипотеза о Якобиане(двумерный случай). В связи с этим вспомнилось, что я издавна(с первого курса Матана) интересовался вопросом, когда дифференцируемое отображение с ненулевым якобианом будет инъективным, а следовательно, диффеоморфизмом на образ. Так вот, забавно, что найти текущее состояние дел в этой области оказалось крайне нетривиальным делом. Такое впечатление, что вопрос был попросту заброшен, хотя есть несколько результатов, и даже критериев. Надо будет как-нибудь вспомнить ссылки и статьи на релевантные вещи.

Update:
Rabier, Patrick J. On global diffeomorphisms of Euclidean space. Nonlinear Anal. 21 (1993), no. 12, 925--947.

Warga, J. Homeomorphisms and local $C\sp 1$ approximations. Nonlinear Anal. 12 (1988), no. 6, 593--597.