Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Математическое: алгебра ограниченных операторов и полиномы Бернштейна

Хорошо известно что в алгебре всех квадратных матриц M(R,n) или в общем случае ограниченных операторов на гильбертовом пространстве B(H) есть делители нуля. То есть, в частности можно ожидать что решений алгебраических уравнений вида P(A)=0 гораздо больше, чем мы привыкли в ситуация когда работает в областях целостности, где полином не может иметь больше решений чем его степень. Например, любой проектор на подпространство удовлетворяет уравнению X^2=X.

Так вот, хорошо известны так называемые полиномы Бернштейна для данной функции f(x) определенной на отрезке [0,1]

B(n, f)(t)=\sum_k^{n} f(k/n)C(k,n)t^k (1-t)^{n-k}

Так вот,
B(n, 1)(x)=1
B(n, x)(x)=x

но

B(n,x^2)(x)=x^2+(x-x^2)/n

То есть уже для квадратичной функций порядок приближений есть O(1/n).

Однако, если вместо чисел мы будет подставлять операторы, то для проекторов мы по прежнему имеем точную формулу и в случае приближения x^2.

Где это можно использовать и как, я без понятия, но наблюдение любопытное. А может и не очень поскольку раз P=P^2 а для P у нас верно, то и для P^2 верно

Но возникает также естественный вопрос, что по идее, даже если у нас есть несколько полиномов P_i(A)=0 то в каких случаях у нас будут нетривиальные операторы в алгебре, скажем B(l_2), удовлетворяющие всем этим полиномиальным соотношениям? То есть для чисел система из нескольких полиномиальных уравнений будет сильно переопределенной а вот в случае операторов уже могут быть решения. Я бы даже сказал интересно, сколько условий надо наложить чтобы у нас стало только конечное число решений, как в случае чисел.
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments