Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: метрика переноса и обращение принципа сжимающих отображений

Удивительно как-то мимо меня прошла такая довольно простая конструкция метрик на произвольном множестве. Пусть M некоторое множество, а F: M --- > R любая неотрицательная функция на нем. Так вот, не мудрствуя лукаво просто зададим метрику формулой

d(x,y)=F(x)+F(y)

Условие симметричности d(x,y)=d(y,x) удовлетворяется автоматически. Неравенство треугольника

F(x)+F(y)=d(x,y) < = d(x,z)+d(z,y)=F(x)+F(z)+F(z)+F(y)=d(x,y)+2F(z)

следует из неотрицательности функции F.

Однако есть проблемы если d(x,x)=2F(x), а должно равняться нулю. Нет проблем! Просто переопределим d(x,x)=0, а если x не равен y то используем формулу выше!

Осталось проверить теперь что будет, если теперь d(x,y)=F(x)+F(y)=0. Из неотрицательности следует, что F(x)=F(y)=0. И мы хотим заключить в этом случае, что x=y. Для этого придется дополнительно потребовать чтобы прообраз нуля при отображении F состоял из максимум единственной точки. Всё! По любой неотрицательной функции F с дополнительным условием на прообраз нуля строится метрика. Свойства функции легко переводятся в свойства метрики.

Например, если у нас есть некоторое отображение T пространства M в себя: T: M --- > M

а F(x) есть решения неравенства Шредера

F(Tx) < = kF(x)

То тогда T будет k-сжатием относительно построенной выше метрики!

Более того на этом пути можно обратить сжимающих отображений Банаха. То есть оказывается что всякое отображения у которого не более чем одна периодическая точка можно сделать сжимающим относительно некоторой метрики. Это называется теорема Бессаги.

Подробности в статье Jacek Jachymski:

https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.tmna/1471873916

A SHORT PROOF OF THE CONVERSE
TO THE CONTRACTION PRINCIPLE
AND SOME RELATED RESULTS
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments