Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Математическое: о стандартных и нестандартных конечных множествах

Зададимся простым вопросом: как отличить конечные множества от бесконечных? То есть вот пусть перед нами множество и как понять что оно конечно? Наивный ответ: пересчитать элементы, и если они закончатся, то множество конечно. А если оно не конечно то оно бесконечно. В чем проблемы с этим подходом? А в том, что если перед вами бесконечное множество, вы никогда не закончите этот процесс. Так как у вас нет никаких априорных оценок до каких пор считать, то хоть и конечность множества вы установите рано или поздно, про бесконечные множества вы никогда не можете быть уверенными до конца.

Что же делать? А давайте попробуем альтернативно определить конечные множества как те которые не бесконечны! Минутку, а как же тогда определить бесконечные множества? Попробуем так: возьмем в бесконечном множестве X какой-то элемент a1. Кроме этого элемента в остатке нашего бесконечного множества есть еще какой-то другой элемент a2 отличный от a1 (потому как если бы его не был то мы уже успешно пересчитали все элементы и оно оказывается конечным). Кроме элементов a1, a2 во множестве опять таки еще один элемент a3. И так далее, продолжая, получаем последовательность элементов a_1, a_2, ..., a_n,... Теперь построим отображение по правилу f(a_i)=a_{i+1}. А все остальные элементы исходного множества вне построенной последовательности оставляем на месте f(a)=a. Построенное отображение есть биекция с исходного множества X на X\{a1}. То есть бесконечное множество равномощно своему СОБСТВЕННОМУ подмножеству. Чтобы доказать, что нечто есть бесконечное множество достаточно предъявить подобную биекцию. Это вполне конструктивно в отличии от процедуры пересчета. С другой стороны, описанная процедура в случае конечного множества не будет давать биекцию. Более того, можно перебрать все отображения КОНЕЧНОГО множества A в себя и прямо убедиться что там нет биекций на СОБСТВЕННОЕ подмножество. То есть предложенное определение явно лучше наивного!


Таким образом конечное множество это множество для которого не существует биекций на его собственное подмножество.

А вот теперь самое интересное: как, используя определение выше, построить нестандартное КОНЕЧНОE множество X "любой" мощности.

Смотрите, что нам нужно для этого? Нам нужно чтобы в X не существовало равномощных СОБСТВЕННЫХ подмножеств! НО позвольте - выше же было наглядно показано, что убрав всего один элемент мы таки всегда получим равномощное подмножество. Что же делать? А вот что - а давайте считать что не КАЖДОЕ подмножество является ДОПУСТИМЫМ! То есть они как бы есть, но мы их не считаем легальными множествами! То есть допустим что в качестве реальных ПОДМНОЖЕСТВ мы засчитываем не ВСЕ подмножества, а лишь часть! Теперь смотрите, если мы не считаем обычные подмножества той же мощности как ДОПУСТИМЫЕ подмножества, у нас исходное множество становится КОНЕЧНЫМ! Грубо говоря, у такого НЕСТАНДАРТНОГО множества ЛЕГАЛЬНЫЕ подмножества строго меньше по сравнению со всем множеством. Можно даже сказать, что множество всех множеств (которого нет!) есть протопример нестандартного конечного(sic!) множества! То есть нестандартные конечные множества скорее всего имеют очень большую мощность в обычном смысле, но в этом я еще до конца и сам не разобрался.

Update: a_shen сделал очень важное замечание. На самом деле, чтобы добиться того же эффекта - что у кандидата на конечное множество нет биекций со своими собственными подмножествами, вместо подмножеств можно попросту ограничивать допустимые отображения между множествами. И это более естественно на самом деле. С категорной точки зрения мы ограничиваем не объекты, а допустимые морфизмы между объектами. И возможностей получать "конечные" множества на этом пути явно больше и они естественней.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 26 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…