Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: формула для вычисления длин кривых

В очень интересной статье

http://www.ams.org/journals/bull/1995-32-01/S0273-0979-1995-00571-9/S0273-0979-1995-00571-9.pdf

про "Как много корней случайного действительного полинома действительны" меня больше всего заинтересовало простое но изящное тождество.

А именно, если у нас дана вектор функция одного аргумента

v(t)=(A_1(t),..., A_n(t))

то оказывается есть очень простой и изящный путь посчитать евклидову норму ее производной, которая является интегрантом при вычислении длины кривой, задаваемой посредством v(t).

А именно, введем

K(x,y)=(v(x),v(y)). (здесь и далее скобки это станадартное скалярное произведение в n-мерном пространстве)

Тогда можно легко проверить, что

(Dv(t), Dv(t))=F(t,t)

где F(x,y)=D_xy (Ln(K(x,y))).

где D_xy это вторая смешанная частная производная функции двух скалярных переменных, а Dv(t) просто производная по t.

В чем прикол? А в том, что для многих вектор функций можно сначала упростить выражение для K(x,y), а потом уже дифференцировать.

Например, для
v(t)=(1,t,t^2,..., t^n)
K(x,y)= (v(x),v(y))=1+xy+(xy)^2+...+(xy)^n
есть геометрическая прогрессия.

Вообще там в статье много вкусного и интересного.

Кстати, знакомые с машинным обучением могут распознать в K(x,y) известный объект(воспроизводящее ядро).
Tags: deep learning, math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments