Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Математическое: недостижимый кардинал

Тао в своих заметках про нестандартный анализ постоянно упоминает про возможную версию ультрапроизведения, если берется ультрафильтр на множестве мощности недостижимого несчетного кардинала. Потому пришлось посмотреть, что это такое.

https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal

Удивительное дело, штука оказалась весьма естественная.

В чем хитрость можно понять, как не странно, на примере первой счетной бесконечности, алеф-нуля. Алеф-ноль это первая бесконечность(любое бесконечное множество содержит счетное подмножество). Так вот все кардиналы, которые строго меньше алеф-нуля, это конечные кардиналы. Если мы возьмем множество всех подмножеств конечного множества, мы получим конечный кардинал. И сколько мы должны взять множеств конечной мощности, чтобы получить алеф-ноль? Ответ - не меньше, чем сам алеф-ноль.
Другими словами, алеф-ноль значительно больше, чем чем ВСЕ предыдущие кардиналы. Если мы возьмем любые два конечных кардинала, то как бы мы их не крутили(объединяли, умножали, возводили один в степень другого) нам нужно провести не менее чем алеф-ноль операций, чтобы получить этот самый алеф-ноль.

Теперь смотрите - возникает естественный вопрос, а есть ли другой бесконечный кардинал с тем же свойством? То есть, есть ли такая бесконечность, которая превосходит остальные МЕНЬШИЕ бесконечности настолько же, насколько первая счетная бесконечность превосходит конечные? То есть бесконечность, которую можно получить из меньших бесконечностей, только применив такое количество операций к меньшим бесконечностям, сколько есть в ней самой. То есть существование предыдущих бесконечностей не помогает упростить пересчет ее самой. Нам потребуется столько же любых предыдущих бесконечностей, сколько и одно-элементных мощностей, чтобы пересчитать в ней элементы.

Согласитесь поставить вопрос о существовании такой бесконечности вполне естественен, и такая бесконечность и называется недостижимым несчетным кардиналом.

Насколько я понимаю, если теперь взять ультрафильтр на множестве мощности этого недостижимого несчетного кардинала у нас через ультрапроизведения по этому ультрафильтру получится универсум, в которой любое количество объектов мощности меньшей(а может быть и равной, здесь я не разобрался) этого самого недостижимого кардинала всегда имеет непустое пересечение, если были непусты все конечные пересечения.

We remark that if we had used ultraproducts on larger index sets than the natural numbers, then we would be able to obtain stronger saturation properties than countable saturation, although it is never possible to get unlimited saturation (since every point in a nonstandard set {X} is an internal set). In model theoretic applications it can be technically convenient to work with an extremely saturated model (e.g. a structure which is saturated up to an inaccessible cardinal), but for most applications outside of logic and set theory, such “monster models” are not necessary, and the more modest device of ultraproducts over countable index sets is often sufficient.
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 6 comments