Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: Тао про ультрафильтры

Прекрасный старый пост(от 2007) Тао про Ультрафильтры.

https://terrytao.wordpress.com/2007/06/25/ultrafilters-nonstandard-analysis-and-epsilon-management/

Что полезно отметить

1) Эвристическая интерпретация конкретного ультрафильтра как системы голосования. Именно эвристическая потому, что для строгости конечно же нужно привлекать вариант аксиомы выбора и сюда. Ультрафильтры как конечно-аддитивные вероятностные меры на ВСЕХ подмножествах натуральных чисел.

2) Банаховы пределы эквивалентны ультрафильтрам - если вы знаете как разумным образом сопоставить любой ограниченной последовательности "Предел", то рассматривая последовательности только из нулей и единиц, вы получаете ультрафильтр(одни подмножества имеют предел 1, а другие 0). И наоборот, имея в наличии ультрафильтр, и для произвольной ограниченной последовательности, "голосуя" последовательно по диадическим отсечкам, используя этот ультрафильтр, вы получаете банахов предел.

3) Ультра-фильтры бывают разные. При этом одни конструкции не зависят от ультрафильтра(нестандартный анализ). Но выбор более хорошего ультрафильтра может упростить задачу. В связи с этим у меня сразу возник вопрос, а насколько хорошие ультрафильтры можно придумать. По Тао, для построения ультрафильтров со специальными свойствами аксиома выбора используется не раз и не два, а запросто трансфинитное число раз.

4) И следующая проблема. Нетривиальных ультрафильтров вообще говоря нет. Мы не можем предъявить пример, отличный от надмножеств конкретного числа(так называемый тривиальный ультрафильтр). Потому что ультрафильтр это раскраска континуума подмножеств натуральных чисел в два цвета. Мы не можем и никогда не сможем описать такую окраску явно, кроме тривиальных случаев. То есть ультрафильтры это существенный артефакт аксиомы выбора.
Однако Тао в этом и кажется в других постах по нестандартный анализ продвигает разумную идею: всегда анализировать насколько нам нужна полная мощь существования ультрафильтра в конкретном рассуждении. То есть, так ли нам необходимо знать всю раскраску, или только лишь ее часть. По-моему, это очень содержательный и практический совет. В этом смысле надо всегда пытаться актуализировать используемый ультрафильтр настолько, насколько это вообще возможно в данной задаче. То есть пытаться таки максимально описать то, что целиком нельзя описать.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments