Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: континуум конечно пересекающихся подмножеств натуральных чисел

Прочитал в одной статье простую конструкцию как сгенерировать континуум подмножеств натуральных чисел, которые попарно пересекаются лишь в конечном множестве точек.

А именно, мы используем сепарабельность числовой прямой, и в частности что все рациональные числа из замкнутого отрезка [0,1] можно занумеровать в некотором порядке. Теперь, очень просто: для каждого действительно числа из отрезка [0,1] выберем некую последовательность рациональных чисел к нему сходящихся. И сопоставим этому действительному числу подмножество натуральных которым мы перенумеровали именно эту последовательность рациональных. Вот у нас есть континуум подмножеств, а так как любые две различные точки отделимы окрестностями, вне которых лишь конечное число рациональных из соответствующих последовательностей, то пересечение различных таких подмножеств не более чем конечно.

Заметим что вместо рациональных можно взять любое счетное всюду плотное множество в отделимом пространстве мощности континуум.

Update:
1) Если развлекаться дальше с Леммой Цорна, брать максимальные такие семейства подмножеств. И полностью упорядочивать континуум и дальнейшие порядковые числа, то можно построить счетный ряд, представляющий континуум заданных функций за исключением быть может счетного числа точек для каждой.

Ф. А. Талалян, “О предельных функциях функциональных рядов”, Матем. заметки, 10:1 (1971), 25–32

http://mi.mathnet.ru/mz7063

2) Однако полное упорядочивание континуума сродни дешевой(но безумно эффективной) магии, и мне в данном случае интересна часть которая говорит про полное упорядочивание счетного всюду плотного множества рациональных чисел. Тут вроде бы ни к чему не придерешься - но простой вопрос - как устроена эта упорядоченность в смысле перемешивания всей числовой прямой. И вот тут совершенно загадочные вещи, на мой взгляд. Такое упорядочивание по счетности очень здорово нарушает линейный порядок тех самых рациональных чисел. Мы имеем некоторую бесконечную перестановку натуральных. И что мы может любопытного о ней сказать? По сути вопрос - как выглядит нетривиальные ультрафильтры множества натуральных с наивной точки зрения. Что мы про них можем сказать?

3) Ах да - причем тут ультрафильтры. Если мы в конструкции выше для фиксированного действительно числа S рассмотрим все последовательности рациональных к нему сходящиеся, и соответственные подмножества натуральных согласно данной нумерации, то мы получим фильтр. Который вложен в ультрафильтр(а может уже им и является - я не спец). Мы как бы конструкивно построили континуум нетривиальных ультрафильтров на натуральных числах.

4) Но заметьте такую вещь - конструкция очевидно зависит от способа нумерации рациональных. Их много таких способов, вообще-то. И я бы например с удовольствием что-нибудь почитал на тему этой зависимости.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…