Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: P(2) и P(P(2))

Заинтересовала задачка(по ссылке она с решением):

http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=116414

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен P(x) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения P(2) и P(P(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

Кто-нибудь встречал какие-либо далеко идущие обобщения(математические теории) задачи выше? Мне почему-то кажется что они должны быть.
Что меня заинтересовало, так то что обычно чтобы задать многочлен степени m нам надо формально задать его значения в m+1 точках. Здесь же достаточно 2. Это жу-жу неспроста.

Update: Пояснение.
1) Вот у нас есть достаточно обширный класс многочленов которые полностью определяются своими значениями в 2 точках. Какие еще классы многочленов могут быть так определены (по 2, 3, 4,... log(m), m^a точкам).
2) Смотрите, уже P(2) достаточно большая величина, а P(P(2)) уже очень большая величина. То есть в некотором смысле функция полностью определена парой своих БОЛЬШИХ значений. Что-то должно быть и в этом направлении в смысле что большие рациональные числа по определению несут больше информации об объекте, чем маленькие.
А в большинстве стандартных рассуждений мы обычно предполагаем равенство между данными, например в той же задаче алгебраической Интерполяции - данные про узлы. Но его же нет, этого равенства на самом деле :-)).
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments