Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Categories:

Что такое СДУ, часть 2

Вернемся к нашим баранам, то есть к вопросу, что такое стохастическое дифференциальное уравнение. К сожалению, большинство математических объектов обладают тем свойством, что к ним проще сначала привыкнуть, а потом уж реально понять. Здесь случилась та же фигня. После месяца разного чтения объект вроде стал привычным, но...

Потому изложу краткую, но самодостаточную схему. Напомню, что мы имеем дело со случайными процессами с непрерывным временем S(t,x), где переменная x соответствует пространству элементарных событий X в колмогоровской аксиоматике тройки (X,B,P), где B это сигма алгебра наблюдаемых событий, а P - вероятностная мера заданная на B. Числовая функция S(t,x) непрерывна по t и измерима(относительно B) по x.
[Spoiler (click to open)]
Другими словами, у нас есть параметризованное семейство случайных величин S(t,*). Но кроме того, можно рассматривать, как что у нас есть семейство траекторий S(*,x). Вероятностная мера (B,P) индуцирует меру на некотором подмножестве непрерывных функций. То есть на случайный процесс S(t,x) можно смотреть еще и как на меру в C[0,a].

Теперь пуcть у нас задан случайный процесс W(t,x), пара функций a(t,S) и b(t,S), и мы хотим найти неизвестный случайный процесс, удовлетворяющий стохастическому диф-уравнению (СДУ)

dS(t)=a(t,S)dt+b(t,S)dW(t), S(0)=s

Первый вопрос, что такое стохастический дифференциал dW(t). Здесь мы сделаем финт, и предположим что для каждого x, траектории W всюду дифференцируемы и можно определить (W'(t)=dW(t,x)/dt). Теперь мы можем интерпретировать исходное СДУ, как обыкновенное дифференциальное уравнение(ОДУ) со стохастическим управлением u(t)=W'(t,x), при каждом фиксированном x.

dS(t,x)/dt=a(t,S)+b(t,S)W'(t,x), S(0,x)=s(x)

Решение этого уравнения(ОДУ) существует на всем промежутке, дифференцируемо по начальным данным и параметрам, в зависимости от условий на коэффициенты a(t,S), b(t,S) (например липшицевость по S и не более чем линейного роста по S). Так как у нас семейство решений зависящих от наблюдаемой x, то значит после решений ОДУ у нас получился случайный процесс S(t,x). Все вроде хорошо.

Однако незадача в том, что исходный известный процесс W(t,x) не только не обязан быть всюду дифференцируем по траекториям. На самом деле, например стандартный Винеровский процесс не имеет дифференцируемой траектории почти для всех x. Что же тогда делать? Ответ - аппроксимировать W(t,x) везде дифференцируемыми процессами H(n,t,x). Решать для каждой аппроксимации соответствующее ОДУ со случайными полями и пробовать доказать, что последовательность решений S(n,t,x) сходится в разумном смысле к некоторому процессу S(t,x), которое и объявляется решением исходного СДУ. Другой взгляд, на эту процедуру состоит в том, что мы изначально рассматриваем обобщенные случайные функции и обобщенные случайные процессы. Обобщенные функции можно дифференцировать, а значит проблема лишь в установлении сходимости и регулярности предела. В этом смысле, кстати, раскрывается такой аспект, например, что для стандартного винеровского процесса обобщенная корреляционная функция производной W'(t) ни что иное, как дельта-функционал Дирака(что очевидным образом естественно выделяет стандартный Винеровский процесс). Поскольку всякая обобщенная функция аппроксимируема гладкими, то мы получаем схему выше.

Чем мне это схема нравится, что она индивидуальна, и подходит для любого интегранта W(t,x) при условии, что мы знаем, как его гладко аппроксимировать. Например в эту схему включаются не только стандартный винеровский процесс, но и фрактальное броуновское движение, несмотря на то, что оно не является семимартингалом (whatever this means) или процессом локально ограниченной вариации.

Кроме того, решение соответствующего ОДУ можно провести так называемым виброспособом (установление существования так называемого виброрешения). Я очень комфортно себя чувствую как с обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и с гладкими аппроксимациями самых разных объектов. Потому лично для меня данный способ введения решения СДУ ощущается более естественным, чем построение стохастического интегрирования одного случайного процесса по другому случайному процессу, о чем мы как-нибудь поговорим в другой раз.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments