Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

О гипотезе Я...

Одна весьма известная (нерешенная) математическая задача сводится к тому, чтобы доказать, что некие степенные ряды(от n переменных) есть суть многочлены. Более того, если это так и есть, то степень этих многочленов имеет вполне конкретную априорную оценку (3n-1). Формулы для этих степенных рядов есть явные и не самые плохие. Если они многочлены, то значит любое дифференцирование порядка выше этой априорной оценки, даст нам ноль. То есть задача свелась, к тому, что некий степенной ряд есть тождественный ноль. Как доказать, что нечто есть ноль. Естественный вариант, через справедливость некоторой теоремы типа Лиувилля, которых вообще в математике известно чуть меньше чем бесконечность. Другими словами, надо найти уравнение или систему уравнений, которой будет удовлетворять наши ряды, и для которых справедлива некоторая теорема Лиувииля. Вот всего то и делов осталось. Кто решит таким способом, не забудьте упомянуть меня.

Update: (пояснение для тех кто не в танке) Например, стандартная теорема Лиувилля, говорит о том, что всюду определенная ограниченная гармоническая функция должна быть константой.

Здесь нам она напрямую не поможет, поскольку гармонические полиномы существуют, но они не ограничены. Однако, например, если мы решим задачу Дирихле по следу произвольного многочлена на единичной сфере, то решение обязано быть сферической гармоникой, то есть гармоническим многочленом.

Update 2: Продолжаем разговор. Так вот, если взять наш ряд, и его след на некоторой сфере, решить задачу Дирихле для этих граничных данных, доказать что решение(а есть формула) гармонический многочлен. Тогда разница нашего ряда и этого многочлена имеет нулевые граничные значения на сфере. Теперь, если наш исходный ряд суб(супер)гармоничен, то по принципу максимума внутри шара наш ряд совпадает с многочленом, а значит и вообще. Заметим, что в этой схеме вместо оператора Лапласа можно взять любой эллиптический оператор с постоянными коэффициентами, то есть вариантов масса - ищи какой пройдет.

Update 3: Неа, так в лоб точно ничего не выйдет, поскольку даже для функций многочленов, разница не может быть подогнана под принцип максимума, ибо на границе ноль, а внутри гарантированно нет. Конструкция должна быть сложнее, чем обычный лапласиан, как минимум. Однако она будет работать, если сам ряд удовлетворяет оператору, принципу максимума, и можно доказать, что решение задачи Дирихле, построенное по следу, есть полином. Проблема в том, что исходный степенной ряд априори имеет бесконечное количество членов(наша задача как раз доказать конечность), а значит построить даже оператор бесконечного порядка нетривиальна.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 1 comment