Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Categories:

метод обобщенной подстановки Коула-Хопфа

Тут недавно был разговор по поводу открытия индийским школьником одного первого интеграла одного дифференциального уравнения, которое оказалось, впрочем, было еще в Камке.

Так вот, к вопросу точного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений(систем) обычно предлагают метод обратной задачи рассеяния (Inverse Scattering). Честно скажу, никогда не понимал, о чем там толкуют, правда если честно, и усилий на то, что понять, не тратил совсем. Но однако возможно и правильно. Дело в том, что, как выясняется, одни чуваки собрались и на коленке разработали совершенно понятный, рабоче-крестьянский метод интегрирования этих самых уравнений. Как я понял, все(или почти все), что интегрируется методом обратной задачи, интегрируется и методом обобщенной подстановки Коула-Хопфа.

Подход, как я уже сказал, совершенно рабоче-крестьянский: возьмем линейное уравнение второго порядка типа теплопроводности (с двумя неизвестными функциями коэффициентами), дополним его одним уравнением первого порядка(с геометрической интерпретацией и еще с одним неизвестным коэффициентом). Записываем уравнение совместности, и оказывается, что у нас есть свободная функция. Выбирая ее, можно выписывать список нелинейных уравнений, сводящийся к исходному линейному. Возникает уравнение Бюргерса, Кортевег-Де-Фриса, и далее по спискам. И еще до кучи всего другого. Причем все предельно конкретно, поскольку строятся как бы решения и уравнения одновременно, причем оказывается, что в процессе отбираются чуть ли не все известные случаи нелинейной интегрируемости. Метод работает и для систем, поскольку для матриц все проходит без изменений. Последнее означает по сути, что в основе метода какой-то алгебро-геометрический факт, вроде собственно теории Обратной задачи(или она сама и есть, только повернутая нужной стороной).

В. М. Журавлев, Д. А. Зиновьев, “Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула–Хопфа, и точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости”, Письма в ЖЭТФ, 87:5 (2008), 314–318
http://mi.mathnet.ru/jetpl57 скалярный случай

В. М. Журавлев, “Метод обобщенных подстановок Коула–Хопфа и новые примеры линеаризуемых нелинейных эволюционных уравнений”, ТМФ, 158:1 (2009), 58–71
http://mi.mathnet.ru/tmf6299 матричный

предтеча в некотором смысле
С. И. Свинолупов, “Об аналогах уравнения Бюргерса произвольного порядка”, ТМФ, 65:2 (1985), 303–307
http://mi.mathnet.ru/tmf5107
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments