Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математические осколки: диагональный процесс Кантора, формулы-следствия из эргодической теоремы

Я тут нахожусь в поиске определенных результатов и инструментария, способного помочь мне продвинуться в одной своей идее, и потому смотрю чуть ли не все подряд по некоторым ключевым словам. Попадается пока не то, но попутно обнаруживаются всякие мелкие математические осколки о известных и не очень вещах. Попробую их кратко фиксировать по возможности для себя в будущем.


1. Всем известен диагональный процесс Кантора. Набрел на неплохое, по сути методическое изложение-обобщение, которое можно рассказывать и студентам.

Применимость метода Кантора

Реально это просто переформулировка, компактная запись диагонального рассуждения. Напоминает предел по фильтру. А именно, на пространстве последовательностей элементов множества X введем тау-свойство, требуя от последнего, что каждая под-последовательность тау-последовательности, и любое конечное расширение (когда мы добавляем к последовательности конечное число элементов) также являются тау-последовательностями. Основной пример: последовательности, сходящиеся в некоторой топологии. Но схема, естественно, чуть пошире.

Так вот далее можно ввести тау-компактность, счетное число тау-компактных отображений, и переформулировать диагональный процесс Кантора через существование последовательности в области определения, которая переводится в тау-последовательность каждым из отображений. Я уже отметил, ничего нетривиального ни в формулировке, ни в доказательстве нет вообще. Это просто краткая, но строгая запись стандартных слов: "применим диагональный процесс Кантора".

2. Другой осколок связан с Эргодической теоремой Неймана для унитарного оператора U в Гильбертовом пространстве H. Теорема сия утверждает, что среднее арифметическое итераций Унитарного оператора

(f+Uf+...+Ukf)/(k+1)

сходится к вполне конкретному пределу P(f), выражаемом через интеграл по инвариантной мере.

Так вот если мы возьмем за этот самый унитарный оператор "корень из единицы", т.е. Um=Id, то предел слева становится конечным выражением, и у нас получается куча точных формул (для каждого такого оператора U и элемента f гильбертова пространства), из которых можно получать путем специального выбора оператора разные приближенные формулы, которые можно использовать например для вычисления интегралов от функций.

Кубатурные формулы, основанные на эргодической теореме

Тут наверное стоит отметить, что каждое отображение T:X -- > X, на измеримом пространстве (X,m) с Tm=IdX индуцирует подобный унитарный оператор U на L^2(X,m) по формуле U(f)(x)=f(T(x)), то есть таких "корней из единицы" навалом и на любой вкус.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 1 comment