Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Math: открытость множества полиномов с действительными корнями

То ли я чего-то не понимаю, то ли как. Вот возьмем полином с действительным коэффициентами и только действительными простыми(последнее важно) корнями. Например, 1-x^2. Можно ли чуть-чуть "пошевелить" коэффициенты, чтобы получить полином уже с комплексными корнями. Легко, например, в случае выше, для сколько угодно малых a,c полиномы (1+ci)-x^2 или 1-(1+ai)x^2 имеют уже два комплексных корня. Однако, наложим дополнительное условие, что шевеление коэффициентов должно быть действительным, и теперь легко видеть, что малые действительные изменения коэффициентов: (1+a)+bx-(1+c)x^2 дают нам все также полином с действительными корнями. И это неудивительно, ибо для того, чтобы два действительных корня преобразовались в два комплексно-сопряженных, надо, чтобы дискриминат уравнения C + BX + Ax^2, D=B^2-4*AC стал бы из положительного D=D_0 > 0, отрицательным.

Так вот, никак не пойму, обобщаются ли рассуждения выше на общий случай, то есть, что множество действительных полиномов степени n с действительными простыми корными открыто в пространстве действительных коэффициентов. То есть малое действительное шевеление коэффициентов полинома

A_0+x*A_1+...+x^n A_n=(x-k1)(x-k2)...(x-k_n)A_n

также дает полином со всеми действительными простыми корнями s1,s2,...,s_n.

Если это верно, то меня интересуют критерии (в терминах собственно A_0,...,A_n ) насколько сильно можно изменить коэффициенты с сохранением действительности всех корней. Интутивно понятно, что надо выбрать два как можно близких корня k1,k2 исходного полинома и взять соответствующий квадратный фактор (x-k1)(x-k2) и превратить его во что-то типа
(x-k)^2+a^2 i, где a - мало, а k =(k1+k2)/2 - середина отрезка [k1,k2].

Как бы это выразить в терминах исходных коэффициентов A_0,A_1,...A_n?
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 8 comments