Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: polynomials in X[q]

Математическое.

Возникла такая тема. У меня генерируется последовательность многочленов P(n,q) от параметра q. Коэффициенты многочленов есть функции u(x,t) в некотором пространстве X. Выбор пространства X широк, потому как функции хорошие (бесконечно дифференцируемы и все такое). Так вот, есть гипотеза, что если решение моей проблемы существует (что я и хочу доказать), то при значениях параметра q близкого к 1, нормы функции P(n,q)(x,t), представимые этими многочленами, в данном пространстве должны убывать по геометрической прогрессии a^n, где 0 < a < 1. Если же решения нет, то тогда наоборот, нормы многочленов должны расти как b^n, где b > 1.

Вопрос собственно в том, каким образом к таким проблемам можно подступиться. Параметр q вещь довольно искусственная, однако по аналогии со скалярным примером (X=C), свойство убывания, если оно справедливо, должно быть выполнено для всех q, достаточно близким к единице, и потому я рассматриваю именно полиномы от q.

Собственно, эти полиномы сами коэффициенты степенного ряда F(y)=Sum(P(n,q)y^n). И в "хорошем" случае у этого ряда по гипотезе должен быть радиус сходимости(in y) строго больше единицы, а в "плохом", строго меньше.

Вопрос, какими методами можно получить эти оценки. Мне на ум приходит лишь представление полинома по интегралу Коши, и искать контур вокруг q_0, на котором значение нормы полинома мало. Но, опять таки, даже для этого нужна какая-то интуиция, при каких комплексных значениях q полином P(q) из моего кольца X[q] будет иметь малые значения в норме X.

Update:
Гмм, а метод интегральной формулы Коши должен быть довольно мощный, ведь хитрость в том, что в интеграле Коши после выбора замкнутого контура можно прибавить произвольную голоморфную функцию f(z), и таким образом надо оценивать на контуре не p(z) а p(z)+(z-q)f(z). Где-то это техника должна быть изложена в совершенстве, ибо она слишком очевидна. Но вот где конкретно.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments