Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Math: fixed points via d(x,Tx)

Кто о чем, а я о неподвижных точках.

Стандартные условия: есть множество X и оператор T:X -- > X. Интересует наличие точек вида Tz=z.

Будем рассуждать, ввведем на X какую-нибудь метрику d. Получили метрическое (X,d), а значит и топологическое пространство. В этом пространстве рассмотрим семейство всех компактных подмножеств P(d) относительно топологии, индуцированной метрикой d.

Введем функцию f(x)=d(x,Tx). На любом компакте K эта функция достигает (если функция f непрерывна относительно метрики d, что будет выполнено, например, если Т непрерывна) своего неотрицательного минимума a(K,d,T). Если этот минимум равен нулю, то у нас есть неподвижная точка и можно плясать и веселиться.

Рассмотрим инфимум величин a(K,d,T) по всевозможным компактам K и назовем это i(d,T). Предположим, мы можем показать, что этот инфимум равен нулю для некоторого класса метрик d (вариант: всех метрик - sup i(d,T)=0). Заметим, что при наличие неподвижных точек это будет выполнено с необходимостью.

Какие дополнительные условия на T,X влекут существование истинной неподвижной точки.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 7 comments