Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: Иррациональные числа в дополнении

Я вот как-то совсем недавно стал сильно удивляться множеству рациональных чисел и тем парадоксальным отношениям, которые известны между лебеговой мерой и топологической категорией.

Множество рациональных счетно, и значит имеет меру ноль. Тут, кстати, полезно отметить, что для определения меры ноль полная теория меры со всеми сигма-алгебрами и прочей абстрактной мутью не нужна. Мера ноль попросту означает, что есть открытое множество сколь угодно малой меры, содержащее данное как подмножество. Открытое множество на прямой состоит из не более счетного числа непересекающихся открытых интервалов вида (a,b).

В случае же счетного множества конструкция этой системы интервалов общей, сколь угодной малой меры, очень наглядна. Мы нумеруем наше множество натуральным числами 1,2,3,...,n,... и окружаем элемент x_n интервалом (x_n-a/2^n,x_n+a/2^n). Сумммарная длина этих интервалов не больше 2a и может быть сделана сколь угодно малой. Заметим, что в этой конструкции никакой дополнительной специфики о счетном множестве не требуется.

Однако, множество рациональных еще и всюду плотно на действительной прямой. Более того, как на множестве рациональных, так и действительных чисел есть естественный порядок, хорошо согласованный с естественной же топологией.

И вот тут как раз начинается интересное. Построенная выше система интеревалов сколь угодно малой меры есть открытое множесвто, а дополнение замкнутое и состоит из иррациональных чисел. Более того, этих чисел при малом а будет "большинство". С другой же стороны, для любого иррационального числа из дополнения в любой окрестности будут рациональные интервалы нашей системы.

Поставим теперь обратную задачу: выберем некоторое множество иррациональных чисел S, фиксируем его, фиксируем малое a. Теперь мы хотим предъявить покрытие рациональых чисел интервалами, однако так, чтобы все иррациональные числа из нашего фиксированного множества S остались бы в дополнении. Начнем просто с одного иррационального, скажем Sqrt[2]. И попытаемся предъявить конструкцию. Ясно, что нам надо так занумеровать рациональные числа, чтобы расстояние от рациональных Q до Sqrt[2] было больше, чем соответствующая длина интервала. Ясно, что сделать это можно, однако нумерация Q требуется вполне конкретная. Как будто бы нет проблем, если мы хотим оставить в дополнение конечное и даже счетное число иррациональных. При этом нумерация рациональных будет все сложнее и сложнее и каждый раз она должна быть разной.

Однако что делать, если мы хотим "обойти" несчетное множество иррациональных. Ведь дополнение имеет ненулевую меру, а значит там полно несчетных множеств.

Однако, насколько это несчетное множество может быть произвольным?

Update:

Можно повыпендриваться с определениями.

Пусть дано множество A нулевой лебеговой меры. Множество S из дополнения R\A назовем (A,a)- отделимым, если существует открытое множество U(a,S) меры не более a и такое что A\subset U и S\subset R\U.

Описать все (A,a) отделимые множества.
Как сразу отметил rus4, ответ тривиальный - в замыкании S не должно быть точек из A. И вопрос как раз о рассмотрении таких множеств, их свойств и структуры



http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments