Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Math: Топологии генерируемые функциями

Математическое.

Задумался над таким вопросом. Есть ли теорема Брауера о неподвижной точке непрерывного самоотображении шара, в топологиях отличных от стандартной. Штука в том, что свойство отображения иметь неподвижные точки есть совершенно алгебраическая вещь, которая однако может следовать из топологии. Но само по себе решение F(x)=x никак не связано со структурами на нашем множестве, где действует отображение F.

В началах общей топологии осторожно упоминается способ генерации топологий на множестве по функции (семейству функций) из этого множества в известное топологическое пространство. Просто берем прообразы открытых множеств и обьявляем это базой топологии.

Фишка в том, что я нигде не видел нетривиальной разработки сей процедуры. Штука в том, что одни и те же семейства функции могут генерировать ту же топологию. Например, возьме два экземпляра прямой. На образе евклидова топология. Если взять любую строго монотонную функцию, то евклидова база при прообразе переходит в базу, в результате имеет смысл попросту заменять нашу монотонную функцию на тожественную без потери топологии. Однако и интересного ничего не получим. А вот например возьмем немотонную сюрьективную функцию. Например, многочлен третьей (или нечетной) степени. Прообразы интервалов будут как интервалами так и обьединениями интервалов. Я не думал о деталях, но как-будто бы вполне мопжно ожидать, что не всякий интервал будет открытым множеством в этой топологии. Другой пример: возьмем синус, как функцию. Прообразы интервалов будут счетными объединениями интервалов, и топология получится намного слабее обычной.

Собственно, вряд-ли есть приложения тех примеров, которые я привел выше. Однако, меня в основном интересуют бесконечномерные пространства, где обычно задан функционал, который будет непрерывным по очень сильной топологии, но разрывным по слабым топологиям. Однако, естественно было бы работать именно в той топологии, где ровно этот функционал непрерывен, не больше и не меньше. И вот тут возникает задача как можно более простого описания такой топологии, используя как можно более простые пробные функции. Грубо говоря, на обычном пространстве Соболева с квадратично-суммируемыми первыми производными и нулевым следом мы имеем функционал Дирихле. Определим прообразы интервалов - это база. Теперь по базе строим топологию. Вопрос - что у нас получится, и можно ли это дело как-то разумно описать? Интересно однако бы иметь общий метод, который бы работал как если бы мы изменили функционал на другой.

Проблема, я повторюсь, в том что я не видел, чтобы кто-то этим занимался даже в случае конечномерных пространств. Между прочим, если брать в качестве пробных функций разрывные в обычной топологии, то возможно получится что-то интересное и в конечномерном случае.

Вообще странно, общие топологи каким только монстрами не занимались. Должны были смотреть и в этом направлении.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments