Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Math: Лемма Морса в Гильбертовых пространствах.

Прочитал, понравилось концептуально. Конкретно, как проста может быть выражена функция F:H-->R в окрестности своей критической точки. Речь идет о замене координат, гомеоморфизме.

Преположим, что ноль - критическая точка F, и функция дважды дифференциеруема по Фреше в окрестности нуля. И пусть L=F''(0) есть Фредгольмов оператор, то если ядро Ker(L) конечномерно, и H=Ker(L)+Im(L) есть прямая ортогональная сумма гильбертова пространства H. Пусть u=w+v соответствующее разложение вектора u. Заметим, что w из конечномерного, а на Im(L), L есть изоморфизм. Так вот, существует гомеоморфизм некоторой окрестности нуля g:H--->H, g(0)=0 со свойством, что F(g(u)) сильно упрощается, а именно:

F(g(u))=1/2(Lv,v)+f(w),

где f:Ker(L)--->R некторая функция у которой первая f'(0) и вторая f''(0) производные в нуле сами нулевые.

Другими словами, наша функция F в окрестности критической точки (dF(0)=0) с точно до пермутации области определения есть квадратичная форма плюс конечномерная коррекция. В случае, если F''(0) не имеет ядра, то есь критическая точка невырождена, то коррекции нет, и мы имеем просто квадратичную форму.

Интересно, что конечномерный вариант этой леммы меня соверешенно не впечатлил, однако в бесконечномерном варианте все намного занимательней.

Есть правда пара но, типа, что двукратная дифференцируемость по Фреше, плюс Фредгольмовость второй производной, это очень-очень сильное условие на функционал F, но тем не менее.

Кстати, в процессе просмотра доказательства и воникла предыдущая максима, что Теоремы о неявной функции и существования решения задачи Коши для диффура более чем достаточно для доказательства любого результата наподобие вышеприведенного.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments