Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Math: Linear equations. General existence principle

Наткнулся на интересный признак разрешимости линейных уравнений в общих Банаховых пространствах.

А именно, пусть у нас L:X-->Y есть непрерывный линейный оператор между двумя Банахомыми пространствами X и Y.

Рассмотрим уравнение Lu=b, где b некоторый элемент Y.

Так вот, если для каждого b существует приблизительное решение u(b), то тогда существует и точное решение для любого b.

Что понимается под приблизительным решением.

Существуют две универсальных (не зависящих от b) константы q и K, где 0 < q < 1, K > 0

||Lu(b)-b|| < q||b|| и ||u(b)|| < K||b||

Так как у нас линейное уравнение, то можно считать |b|=1, Тогда геометрически это означет следующее. В каждой точке b единичной сферы пространства Y мы строим шар B(b,q;Y) радиуса q < 1. Теперь, существование приблизительного решения просто означает, что образ L{B(0,K;X)} шара B(0,K;X) радиуса K в X при отображении L, имеет непустое пересечение со всеми шарами B(b,q;Y) радиуса q и центром на единичной сфере пространства Y.

Доказательство несложное, путем итерации и геометрической прогрессии (q < 1)! Линейность используется как будто бы весьма существенно.

Так вот, мне понравилась общность, заключающаяся в том, что никаких дополнительных условий на X,Y,A нет. То есть, например, в отличии от принципа сжимаюших отображений можно вполне работать с двумя разными пространствами и без всякой компактности и прочих заморочек.

Интересно также попробовать пообобщать на нелинейные вещи, в рамках описанной выше геометрической интерпретации.


http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Math: akor168 entries
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments