Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: Линейные пространства, принцип максимума и эллиптические уравнения

Любопытный результат, который на мой взгляд должен входить в учебники, однако я узнал о нем случайно.

Конкретно, решения эллиптических уравнений второго порядка вида

aijuij+aiui=0, где
aij(x) положительно определена, а субскрипты означают дифференцирования функции u.

Так вот, с одной стороны решения такого уравнения образуют действительное линейное пространство: умножение на константу и сложение решений остается решением. С другой стороны, любое решение удовлетворяет так называемому принципу максимума - у него нет никаких локальных внутренних минимумов и максимумов. Результат формально очень простой, однако удивительно мощный.

Так вот, прелесть в том, что верно обратное: если у нас есть линейное пространство (я думаю, надо добавить "конечномерное"нет, никакой конечномерности не нужно) функций в области, каждая из которых удовлетворяет принципу максимума/минимума, то существует вполне конкретное эллиптическое уравнение в данной области, которому удовлетворяют все функции без исключения.

Результат Fritz John-а (1938).

John, Fritz(1-NY-X)
Collected papers. Vol. 1.
Edited and with a preface by Jürgen Moser. With a foreword by Lars Gårding. Contemporary Mathematicians.
Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. 648 pp. ISBN 0-8176-3266-2
(p.107)

По моему ощущению очень мощный факт и должны быть красивые приложения в виде простых доказательств известных и новых фактов. Намотал на ус - будем искать. Еще бы геометрически сие растолковать - вообще прелесть была бы.


http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Math: akor168 entries
Tags: math
Subscribe

  • 1 vs. 3

    Гмм, похоже, что все-таки одной тяжелой отказной тренировки в неделю для новичка недостаточно. Вернее, с точки зрения именно роста мышц, все разумно.…

  • best way?

    Забавная штука. Вот существует определенная цель и очень много предположительных способов ее достижения. Вот ты выбрал один, и нет результата. Все…

  • Training plan

    Я в течение почти двух лет читал интернет форумы, сайты, книги по силовому и кардио тренингу. Зимой 2006 я делал простую статику и потерял почти 15…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 16 comments

  • 1 vs. 3

    Гмм, похоже, что все-таки одной тяжелой отказной тренировки в неделю для новичка недостаточно. Вернее, с точки зрения именно роста мышц, все разумно.…

  • best way?

    Забавная штука. Вот существует определенная цель и очень много предположительных способов ее достижения. Вот ты выбрал один, и нет результата. Все…

  • Training plan

    Я в течение почти двух лет читал интернет форумы, сайты, книги по силовому и кардио тренингу. Зимой 2006 я делал простую статику и потерял почти 15…