Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: Functional Analysis facts

Практика показывает, что записывание даже сумбурных мыслей в ЖЖ довольно полезно, через год читаешь и вспоминаешь, что тебя заботило в прошлом.

Потому очень кратко и сумбурно, что заинтересовало внимание среди последнего чтения.

1. Для любого нормального ограниченного линейного оператора A на сепарабельном гильбертовом простанстве H, существует такой компактный оператор K, произвольно малой нормы, что A+K также нормальный оператор, но имеющий чисто точечный спектр. А именно собственные вектора A+K образуют базис пространства H. Что-то подобное по упоминанию верно и не для несепарабельных, с заменой компактного на обобщение.

Update:
Это утверждение можно интерпретировать, как обобщение конечномерного случая. Нормальный оператор по определению удовлетворяет соотношению AA*=A*A, то есть коммутирует со своим сопряженным. В конечномерном случае это в точности те операторы, для которых существует базис из собственных вектров. В сем базисе - оператор диагональный. В бесконечномерном случае такой малины нет (возьмите оператор умножения на фиксированную функцию в C[0,1]), однако, как показывает приведенный результат, все сложности уходят после надлежащего компактного шевеления, и мы имеем результат. Пожалуй, здесь стоит упомянуть, что другое обобщение диагонализуемости, это спектральная теорема представления нормального оператора в виде инеграла от z по спектральной мере. Диагонализуемость - это возможность выбрать меру, как сумму дираковских, соответствующих собственным пространствам.

Конкретизировать бы эту теорему, для частных случаев, в частности, для операторов, возникающих из всяких PDE. Солидный результат.

2. Предыдущий результат используется для доказательства того, что если два нормальных оператора A,B имеют тот же самый существенный спектр, то существует унитарный оператор U такой что A-UBU* компактный. Так называемая теорема Фон-Неймана.

3. Что такой существенный спектр, а это попросту та часть спектра, которая устойчива по отношению к компактным вомущениям, и если совсем по простому, то вычитаем из спектра собственные значения конечной кратности, получится собственно существенный спектр. Вообще, проекция произвольного оператора из B(X,Y) на двусторонний идеал компактных операторов K(X,Y) преобразующих слабо-сходяшиеся последовательности из X в сильносходящиеся в Y. Фактор B(X,Y)/K(X,Y) называется алгеброй Калкина.

Update:
Сказал, мягко говоря, неправду, что даже неискушенный читатель заметит, сравнивая пункты. Конечно, существенный спектр - это спектр именно проекции произвольного оператора на пространство компактных. В этом смысле противоречий с пунктом (1) нет.


4. Оказывается, второе сопряженное к K(X,Y) есть в точности B(X,Y). Впрочем, какие-то условия на банаховы простанства X,Y надо накладывать. Тем не менее явная характеризация вторых сопряженных (вторых антисопряженных) вещь полезная в смысле применения слабой и зведочно-слабых топологий (теоремы о компактности Алаоглу-type).

5. Если аппроксимировать произвольные операторы компактными, то inf{ |A-K| : K compact} достигается, если простанство H гильбертово, но не только. Структура множества наилучшего приближения оператора компактными, кажется, вполне изучена. В частности, во многих случаях можно выбрать оператор с конечно-мерным образом.

6. Еще из функанализа: пусть дана произвольная замкнутая подалгебра C алгебры B(X,X). Формируем декартово произведение n-копий CCn={C,C,...,C}. А также последовательность элементов X, {x1,x2,...} замыкание линейной оболочки которых все пространство X.

Теперь рассмотрим отображения из Cn в X по формуле: строка операторов из C в X
(C1,C2,...,Cn) ---> C1(x1)+...+Cn(xn).

Используем теорему, что образ при отображении должен быть либо всем пространством, либо множеством первой категории. Если для некоторого n у нас первый случай, то тогда любой элемент из X представим в виде C1(x1)+...+Cn(xn)=x для конкретных x1,...xn и некоторых
C1,...Cn из нашей алгебры. Если же у нас второй случае, то мы имеет дихотомию: либо конечная представимость, как описано выше, либо у нас нет даже счетной. Этот результат должен иметь многочисленные нетривиальные применения. Взял на заметку.

7. Интересный феномен, который, на мой взгляд, перекликается с предыдущим. Если у нас есть оператор A из B(X), который обнуляется некотором полиномом p(A)=0, то при весьма широких допущениях, если функция g(z) аналитична в некоторой окрестности спектра A и не является полиномом в этой окрестности, то тем не менее оператор g(A) является таки некоторым полиномом q(A) от исходного оператора g(A)=q(A). Это можно интерпретировать как деление с полиномиальным остатком g(A) на p(A): g(A)=h(A)p(A)+q(A). Почему перекликается с предыдущим. А, по сути дела, это в духе, что нам не нужно счетного числа операций, достаточно конечного, (либо несчетного). Операторы на бесконечномерных пространствах отличаются от операторов на конечномерных!

Выше могут быть неточности, все это очень сумбурно, именно заметки на полях.
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments