Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Math: Nonlinear operators and method of continuity

В попытке обобщить так называемый method of continuity на потенциально нелинейные операторы размышляю над следующим.

Что такое линейный оператор L:X---> Y. Выполнено L(u+v)=Lu+Lv, другими словами если положить G(u,v)=u+v, H(x,y)=x+y, тогда L(G(u,v))= H(Lu,Lv). В данном случае обе функции G: (X,X)-->X и H:(Y,Y) --->Y есть просто операции сложения из линейных структур простанств X и Y.

Пусть теперь у нас есть нелинейный оператор N:X---> Y. Нелинейность оператора уже означает то, что линейные структуры на наших простанствах имею весьма отдаленное отношение к поведению оператора. Однако что, если наш оператор хорошо ведет себя по отношению к каким-то двум другим бинарным операциям G: (X,X)--> X и H:(Y,Y) ---> Y. Хорошо в том смысле, что N(G(u,v))= H(Nu,Nv). Что можно сказать об свойствах такого оператора. В частности, довольно очевидно, что не каждый оператор N будет иметь такую структуру. Тем более, если мы, скажем, зафискируем одну из структур, и будем рассматривать, например, решения функциональных уравнений вида f(x+y)=H(f(x),f(y)).

Хе-хе. Интересно, что у меня нет в голове толковых примеров, валидирующих это обобщение. Собственно идея в том, чтобы получилось что-то типа метода продолжения по параметру из линейных уравнений. А именно, если у нас два линейных оператора K,L, то мы соединяем их линейной гомотопией (1-t)K+tL. Тогда в начале пути у нас есть оператор K, который мы хорошо понимаем, и знаем, что он удовлетворяет некоторому свойству. Идея в том, чтобы показать, что вдоль всего пути, операторы удовлетворяют тому же свойству, а значит, и конечный оператор L, который нас изначально и интересовал. Метод очень плодотворный, однако вся конструкция очень сильно завязана на линейность. В частности, линейная гомотопия используется и для нелинейный вещей, и в некоторых случаях она хорошо работает. Однако, линейность неестественна в нелинейных задачах, и вполне разумно думать о других нелинейных деформациях одного оператора в другой.

(to be continued...) (maybe)
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments