Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Math: Heaviness and its striking applications

Не могу не поделиться случайно обнаруженной конструкцией, которая, ма мой взгляд, должна быть исключительна полезна при коротких доказательствах всяких относительно простых, но интересных фактов.

Начнем с простого примера. Вспомним следующую базовую теорему Матанализа: бесконечное ограниченное множество n-мерного евклидова пространства R^n всегда имеет хотя бы одну предельную точку (точку накопления). Что такое предельная точка множества? А такая точка, в любой окрестности которой находится бесконечное количество точек из данного множества (формально достаточно требовать одну, отличную от самой точки накопления, и уменьшая окрестность, легко получаем бесконечное). Доказать сию теорему можно, взяв большой куб, делить его на две части, смотреть в какой части у нас бесконечное количество точек, затем брать ету часть, делить ее дальше, и так, пока не получим последовательность вложенных кубов, с диаметром, стремящемся к нулю. Тогда из принципа вложенных отрезков следует, что пересечение непусто, и все, что в пересечении будет предельными точками (строго говоря, там будет всего одна точка, зависящая от процесса выбора кубов при измельчении).

Так вот, теорема данная считается топологической, она собственно утверждает, что замыкание нашего ограниченного множества есть компакт, который в евклидовом пространстве, как известно, замкнут и ограничен. Однако, обратимся к собственно определению: предельная точка - это такая точка, что пересечение любой окрестности (используем топологию исходного пространства) с нашим любимым множеством бесконечно. Заметьте, последнее утверждение сугубо теоретико-множественное. Так предельная точка, это просто точка пространства с выполненным свойством для окрестностей. Свойство - просто бытие бесконечным. А теперь давайте зададимся вопросом, а что, если мы заменим свойство "быть бесконечным", на какое-нибудь другое. Например, все окрестности должны быть несчетными. Тогда мы получаем определение так называемой точки конденсации, и известна теорема, что любое ограниченное несчетное множество имеет точку конденсации. Но почему зацикливаться на предельных/точках конденсации? Возьмем любое свойство подмножеств, и попытаемся найти такую точку пространства, что всякая топологическая окрестность в пересечении удовлетворяет нашему свойству.

Перейдем к определениям. Предположим у нас есть топологичекое пространство X (в уме держим n-мерное евклидово R^n). Также фиксируем некоторое подмножество S. Рассмотрим класс всех его подмножеств P(S). Теперь разделим все эти подмножества на две группы: подмножества одной группы назовем "тяжелыми"(heavy), а другой "легкими" (light). И наложим очень простые и естественные условия:

(1) Во-первых, каждое подмножество должно быть либо "легким" либо "тяжелым", что, согласитесь, вполне естественно
(2)Пустое подмножество будет "легким". Нет вопросов.

Что еще? Давайте рассуждать. Пусть у нас два подмножества одно - легкое, а другое тяжелое. Объединим их. Должно получится что-то "тяжелое". Согласны? А вот если мы возьмем два "легких"? Тогда не совсем очевидно, чем должно быть их объединение.

(3)Но, допустим, мы утверждаем, что объединение двух легких обязано быть легким. А вот объединение любого с тяжелым - тяжелым.

Все. Мы получили аксиомы для так называемой топологической тяжелости. Замечу только, что можно ввести понятие "тяжелости/легкости" добавляя в свойство (3), что объединение двух легких будет легким не всегда, а к примеру, при соблюдении дополнительного ограничения на подмножества.

Однако, давайте покрутим чутка эту топологическую тяжелость.

Примеры:
1) Назовем множество тяжелым, если оно бесконечно, и легким, если оно конечно.
2) Назовем множество тяжелым, если оно несчетно, и легким, если оно не более чем счетно.

Однако, согласитесь, очевидно, что примеров легкости/тяжелости можно натаскать вагон и маленькую тележку. По сути дела единственное ограничение на свойство разбиения на тяжелые/легкие, это его (свойства) поведение по отношению к объединению. И все!

Множество S, на подмножествах P(S) которого введено понятие тяжелости/легкости [P(S),w] назовем множеством с весом.

Теперь ради чего затеян весь этот сыр-бор. Очень просто. Берем любую точку b пространства X, пересекаем наше выделенное множество S с весом [P(S),w] со всеми его (точки b) топологическими окрестностями U(b) (из исходного пространства X). Получаем некоторое семейство подмножеств {U(b)S}, и для каждого A(U)=U(b)S мы можем сказать, тяжелое у нас получилось пересечение или легкое. Так вот, предположим, что у нас любая окрестность точки пересекается с необходимостью по тяжелому! В этом случае мы назовем подобную точку барицентром (barypoint) исходного множества S по отношению к нашей тяжелости [P(S),w].

Заметим, что по условию (3) всякое подмножество легкого множества есть легкое, а всякое надмножество тяжелого тяжелое. Потому если для некоторой базы окрестностей все пересечения тяжелы, то все замечательно.

Так вот, в чем прелесть таких барицентров? Во-первых, если они существуют, то мы имеем утверждение, что все окрестности данной точки удовлетворяют конкретному свойству, которое мы приняли за свойство "тяжелости". Так вот, варьиреум это самое свойство, беспокоясь лишь о сохранении аксиом тяжелости! Во-вторых, нетривиальную информацию мы получаем и в случае, если барицентра нет, в этом случае некоторая окрестность любой точки пространства обязательно будет легкой.

Остается, таким образом доказать теорему о существовании барицентра для общей тяжелости, а затем выбирая различные конкретные реализации тяжелости можно доказать в универсальной манере, что:

a) Существование предельных точек
b) Существуют точки конденсации
c) Непустоту полного пересечения семейства подмножеств удовлетворяющего свойству конечного пересечения(то есть когда пересечение любого конечного числа множеств непусто)
d) существование максимума у непрерывной функции на компакте
e) равномерную непрерывность непрерывной на компакте функции
f) что непрерывное иньективное отображение компакта, есть гомеоморфизм на образ

Все это базируется на теореме:
Ограниченное тяжелое множество S из R^n, с весом на его подмножествах {S,P(S),w} имеет барицентр b.

Более того, в этом случае (пространство R^n) можно ослабить условие (3) на тяжелость(легкость), используя тот факт, что R упорядоченное поле.

Используя подобные тяжелости, можно доказать,

g) Теорему о промежуточных значениях непрерывной функции
h) Основную теорему алгебры о существовании нуля у коплексного полинома

Собственно примеры с предельными точками и точками конденсации уже неявно разбирались. Точка конденсации - это точка в каждой окрестности которой находится несчетное множество, таким образом, все окрестности тяжелые в данном смысле.

Еще пример: непрерывная функция f на компакте S.
Для данного подмножества A subset S назовем его кофинальным, если sup{f(A)}=sup{f(S)}. Теперь отнесем все кофинальные множества к тяжелым. Ясно, что так как sup{f(A union B)}=max[sup{f(A)},sup{f(B)}], то объединение кофинального(тяжелого) и любого - кофинально, а объединение некофинальных - некофинально, а значит "легко". Теперь берем точку барицентра b. Забыл упомянуть, что и в общем случае легко видеть, что барицентр обязан быть в замыкании, а значит и в самом S в нащем примере. Так вот, любая окрестность этого барицентра b тяжелая, значит кофинальная, а значит по непрерывности f(b)=sup{f(S)} (в любой самой маленькой окрестности b, супремум f(x) равен правой части).

Если интересуют подробности других примеров, то пожалуйста читаем заметку, откуда я все это и содрал.

Two Extended Bolzano-Weierstrass Theorems
J. E. Kimber, Jr.
The American Mathematical Monthly, Vol. 72, No. 9. (Nov., 1965), pp. 1007-1012.

Если нет доступа к JSTOR, но интересно, то оставьте e-mail, и я вышлю.

От себя добавлю, что мое ощущение, что можно подвести под данную схему очень широкий класс задач. Схема проста: переформулировать свою задачку как существование барицентра по отношению к некоторому весу на некотором подмножестве некоторого топологического пространства. А затем использовать, например теорему, что для подмножеств компактов регулярного пространства всегда существует барицентр. Прелесть в том, что у нас почти неограниченный выбор "тяжелостей". Единственная вещь, которую надо проверять, это как ведет себя предполагаемая тяжелость по отношению к объединению, если все хорошо, то есть свойство (3) или его ослабленные варианты имеют место, то автоматически получаем барицентр с нужными свойствами. Копать в этом направлении надо, трудно сказать можно ли накопать совсем уж новое, однако уже известные вещи можно доказывать в абзац-два. Методическая составляющая впечатляет.

Update:
Дополнение-обобщение на случай нетопологических легкостей
MR0226573 (37 #2162)
Leader, S.
Kimber's theorem on weighted sets.

Amer. Math. Monthly 74 1967 1226--1227.
54.10

Также юзеры migmit и vdots сразу распознали, что эта конструкция не что иное, как фильтры и пределы по фильтрам. То есть теоретическая база есть и солидная. Надо придумывать примеры, хотя в прочем не удивлюсь если есть и книжки по подобным вещам, а если нет, их надо написать :-)).
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 13 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…