Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: Measure and Category

А все-таки между мерой и топологической категорией какое-то мистическое отсутствие связи.

Вот смотрите, берем множество всех действительных чисел. Оно довольно-таки длинное, и лебегова мера равна бесконечности. В частности, есть бесконечная счетная система непересекающихся отрезков фиксированной длины 1.

Теперь смотрим на подмножество рациональных чисел. Оно очень-очень плотно на прямой: между любыми двумя числами бесконечное количество рациональных. В некотором смысле нет никаких дырок, на любом масштабе. Да, и собственно, действительные иррациональные числа без рациональных попросту не опредляются.

То есть у нас есть множество и плотное подмножество. Однако, подмножество рациональных нумеруемо. Напомню стандартную процедуру: представляем в виде бесконечной матрицы и нумеруем по косым диагоналям. Все очень явно, никакой мистики. Пронумеровали? Замечательно. Теперь берем маленькое-маленькое число L, ну очень маленькое. Ну, скажем L=10^{-100}, можно еще меньше. И проводим следующую процедуру: берем первое рациональное из нашей нумерации, и окружаем его отрезком длины L/2, так чтобы оно было в середине, берем второе рациональное и окружем его меньшим отрезком, длины L/4, берем третье и окружем длиной L/8, и так далее, L/16, L/32...

Что мы имеем в результате: сумма длин всех отрезком как легко посчитать(L/2 + L/4+ L/8+L/16+...) не более L, которое очень маленькое. При этом все рациональные с комфортом поместились в своем собственном отрезке. Однако, простите мера всей прямой была бесконечна, все рациональные и еще кое-какие числа мы уместили в маленькую-маленькую меру L. При этом рациональные - всюду плотны - как тараканы. Вопрос, куда делась остальная бесконечная мера? Куда, спрашивается?

А теперь зайдем с другой стороны, берем множество рациональных, выбрасываем его, и получаем множество иррациональных. Канторово множество знаете? Ну то, троичное, на отрезке, нигде не плотное, меры ноль? Так вот, существует взаимно-однозначное непрерывное отображение множества иррациональных чисел на канторово множество меры ноль. Заметьте, взаимно-однозначное и непрерывное.

Мистика какая-то.

Update:
Собственно, в чем пойнт-то. А очень просто: локальная структура таких привычных нам действительных чисел устроена намного сложнее, чем кажется на первый взгляд. Конечного масштаба недостаточно, нужен бесконечно-малый микроскоп, иначе "пропадание" бесконечной меры после окружения всюду плотного множества. Попробуйте прикинуть геометрию дополнения к описанному окружению? У меня честно голова кружится. А если полезть в более высокие размерности (R^2=C), во всякие там сепарабельные пространства...


Отчасти, мысли закрутились вследствие чтения работы Сулливана по приближениям комплексных чисел путем отношений целых квадратичных полей. Там как раз подобная техника работы с счетными множествами. Хорошо работает...

Sullivan, Dennis
Disjoint spheres, approximation by imaginary quadratic numbers, and the logarithm law for geodesics. Acta Math. 149 (1982), no. 3-4, 215--237. (Reviewer: Caroline Series) 58F17 (10D07 10F05 10K50 28C10 30F40)

http://www.actamathematica.org/fulltext.htm
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 39 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…