Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Categories:

Math: теорема Fary-Milnor-а

Сегодня присутствовал на любопытном докладе, обобщающем теорему Fary-Milnor о том, что любая заузленная кривая имеет полную кривизну больше 4Pi.

Так вот, товарищи обобщают на случай, когда кривая является графом, то есть когда несколько ребер встречаются в вершине. Штука тут в том, что само понятие кривизны надо определять, и в некотором смысле их результат тавтологичен (во всяком случае, мне так показалось). С другой стороны, определения вроде бы вполне конструктивные, а результат в некотором смысле о незаузленности собственно графа. В детали не вдавались, однако, если скажем граф комбинаторно-планарный (то есть резлизуем в двумерной плоскости), то условие на кривизну дает изотопность пространственной реализации этой самой планарной.

Однако, меня заинтересовало не совсем это. А метод, который восходит к оригинальной работе Милнора 1950 года, которая самая первая у Милнора (отраженная в MathSciNet), когда он был еще студентом. Так вот, там Милнор рассматривает ограничение линейных форм l(x)=(a,x) на кривую. Эти формы параметризуются единичным нормальным вектором a к своей нулевой плоскости уровня. Так вот, ограничение на кривую каждой линейной функции имеет некоторое число локальных максимумов (crookedness). Милнор интегрирует это число по единичной сфере направлений a и получает ... полную кривизну с точностью до константы! Собственно, далее ему остается доказать лишь, что для заузленной кривой число локальных максимумов любого линейного ограничения l(x) не меньше двух (crookedness >=2), отсюда сразу получается результат.

Что меня наиболее заинтересовало это именно простая интерпетация заузленности в терминах простых линейных функций и простейшего инварианта: числа локальных максимумов. В докладе, который я слушал, там для того, чтобы определить кривизну в вершине графа, используют не все направления a, а лишь приходящие из опорных плоскостей, и инвариант, это разница между числом максимумов и минимумов. Пахнет теорией Морса. Однако мне все таки интересно не совсем это, а то, что с помошью простых функций моделируются такие вещи как кривизны и прочая геометрическая хрень. Страшно любопытно пообобщать в этом направлении. Милнор геометр по духу, это чувствуется и в этой первой работе. Однако, неужели аналитики не копали эту делянку в своем направлении? Надо будет поискать. Жалко, что так и нет удовлетворительного поиска по нахождению всех сославшихся на конкретную работу. Однако можно и самому подумать, во всяком случае намотать на ус что так можно и даже, пожалуй, нужно мыслить, в том числе и вводить определения вполне геометрических величин. Что насчет квадратичных функций, ограниченных на кривые? А что насчет поверхностей? В общем, интересное поле вырисовывается.

MR0037509 (12,273c)
Milnor, J. W. On the total curvature of knots. (JSTOR subscription required)

Ann. of Math. (2) 52, (1950). 248--257. 56.0X
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments