Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: JF and Hess(u); stabilization; tr(ABC) vs. tr(BAC)

Запишу несколько сумбурных мыслей.

1. Как "далеко" матрица Якоби произвольного отображения от Гессианов? Скажем, если у нас есть (F_1,...,F_n), и JF симметрично, то тогда существует потенциал u, и JF есть Гессиан Hess(u). Однако, если матрица несимметрична, что можно сказать об ее аппроксимируемости через Гессианы. На уровне собственно отображения можно спросить о представлении скажем, F=A(x)Du+B(x)Dv, где функции A,B в некотором смысле "контролируемы", просты. Штука в том, что градиентные отображения обладают кучей полезных свойств, и хочется перенести эти свойства на более широкие классы отображений.

2. Метод Стабилизации, а именно: добавление дополнительных переменных, то есть вместо F(x)={F_1(x),...,F_n(x)} рассматривается отображение вида F(x,y)={F_1(x),...,F_n(x),y_1,...,y_N}. Штука в том, увеличение числа переменных позволяет понизить сложность отдельных компонент. Например, в работах по гипотезе Якобиана доказано, что путем автоморфизмов на (x,y); F(x,y) можно понизить степени многочленов F_i(x,y) до не выше третьей. В некотором смысле это можно интерпретировать так, что в природе не существует полиномиальных отображений более сложных, чем отображения третьей степени. Потому если мы поймем их, то поймем общий случай. Однако, по другому можно сказать и так, что уже третья степень - это очень сложно - все феномены имеют место уже там.

3. Известна простая формула: tr(AB)=tr(BA) - матрицы не коммутируют, но их след да. Применим это к tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB); tr(BAC)=tr(CBA)=tr(ACB). Есть ли какие-либо формулы между tr(ABC) и tr(BAC). Что насчет большего количества матричных сомножителей? Частично интерес к этому вопросу может мотивироваться так называемым singular value decomposition - любая матрица A=UDV, где D - диагональня с положительными числами на главной диагонали, а U,V ортогональные матрицы.

Линейное эллиптическое уравнение можно записать как tr(A*Hess(u))=tr(U*D*V*Hess(u)). Четыре матрицы в следе, и неплохо бы знать законы коммутирования.


Извиняюсь - сегодня очень сумбурно, эти записи скорее для меня, чем для публики.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments