Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: Трансцендентность для полиномов

Как-то естественно подошел к такой теме. Вот есть у нас полиномиальное отображение F(x_1,...x_n)=(F_1,...F_n). Априорно никаких ограничений на F. Рассмотрим кольцо R[F_1,...,F_n]. Если оно совпадает со множеством всех полиномов R[x_1,...x_n] , то мы имеем так называемый полиномиальный автоморфизм. Однако, предположим не совпадает, или мы не знаем точно, совпадает или нет, например как в проблеме Якобиана.

Однако, теперь возьмем некоторое кольцо гладких функций K, строго большее, чем кольцо полиномов R[y_1,...,y_n], например все бесконечногладкие функции. И рассмотрим образ {h(x)=g(F_1(x),...,F_n(x)), g(y_1,...,y_n) in K}. Прежде всего естественные вопросы:
(i) для каких колец K образ K(F) будет совпадать с K,
(ii)а в каких случаях в образе K(F) будет все R[x_1,...,x_n].
И можно ли, "двигая" кольцо K, доказвать совпадение/вложение для меньших колец, в идеале получив гипотезу Якобиана.

Однако все это туманно, и вопрос у меня более конкретен: ест ли теория "трансцендентности". А именно, предположим, мы знаем что некоторый многочлен P(x_1,...,x_n) представим как суперпозиция некоторой функции h(y_1,...,y_n) и отображения F(x). Данная функция h может быть не одна, и она "приближаема" полиномами.

Так вот вопрос следующий, в теории алгебраических чисел есть результат, что если число слишком хорошо приближаемо рациональными, то оно не может быть алгебраическим, если оно само не рационально.

Что насчет аналога для полиномиальных отображений: если координатные функции слишком хорошо приближаемы композицией полиномов h с F, то у нас есть точное представление, и значит F автоморфизм. И наоборот, меры трансцендентности, когда F заведомо не автоморфизм, значит в образе есть "пропущенные" полиномы, в каком смысле они пропущены, как далеко они находятся от образа, и в какой правильной топологии?

Update:
Другими словами, если мы возьмем суперпозиции всех полиномов от n-переменных {h(y)} с нашим отображением F(x), то получим некоторое подмножество полиномов {h(F(x))}. Если мы получим все полиномы, то F(x) - полиномиальный автоморфизм. Однако, понять, получим ли мы все полиномы или нет, очень сложно. Но предположим, мы доказали, что для данного полинома g(x), у нас есть хорошее-хорошее приближение посредством {h(F(x))} (в какой топологии - это часть вопроса!), тогда применяя потенциальную теорию трансцендентности, заключаем, что g(x) должен быть в образе! Если мы доказываем сие для всех координатных функций x_1,...x_n, то мы доказываем, что F(x) - полиномиальный автоморфизм.
Tags: math
Subscribe

  • о внутренней оценке шахматной позиции

    Я в последнее время много размышляю о шахматах особенно в свете продолжающего прогресса силы шахматных движков (причем как стандартных так и…

  • Мат в 262 хода

    Не знал таких приколов: позиция "ладья и конь против двух коней" - мат в 262 хода.…

  • LeelaChess прогрессирует

    Между прочим, "народная" Альфа-Зеро, называемая ЛилаЧесс, доросла до уровня топ-движков, и уже играет с ними на равных и выигрывает (а до этого…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments