Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Categories:

Math: PDE, restriction on a subspace

Пришли в голову пара мыслей. Надо их записать, пока не забыл.

Предположим, нам надо решать некоторое дифференциальное уравнение, которое абстрактно запишем как F(u)=0, F:X---->Y. Пространство X есть пространство функций, а потому бесконечномерное. Уравнение как будто бы задает одно ограничение на свободные функции, и потому пространство решений как будто бы должно быть гиперповерхностью в X, то есть подмножеством коразмерности 1. Все это очень наивно. А как оно на самом-то деле?

Приличного ответа не знаю, не видел. Однако, вот такие соображения. Предположим, у нас F(u)=L(x,u,Du,...), где L(x,z,p,...) вещественно-значная функция. Что обычно делают: умножаем обе части равенства L(u,..)=0 на некоторую тестовую функцию v, затем интегрируем по частям, для того чтобы понизить порядок дифференциального выражения, и получаем нечто типа B(u,v)=0, где B есть функционал. При этом часто бывает так, что если мы пробежимся по некоторому семейству тестовых функций v, то оказывается, что верно и обратное, а именно - если все функционалы B(u,v)=0, то тогда L(u,...)=0. Более того, поскольку производные в B входят меньшего порядка, чем в L(u,...), то B(u,v) мы можем определить для большего класса функций u, и таким образом народ пришел к понятию слабого решения. Дальше вступает в силу так называемая теория регулярности, которая устанавливает, когда слабое решение есть суть классическое. То есть изначально требовали лишь одну производную, но оказалось что экстремальное свойство влечете дополнительную гладкость. Можно представить это так: "шар" первоначально может иметь всякие блестки и волоски, однако для изопериметрии это плохо, и потому в процессе приближения к оптимальному решению, все эти шупальца исчезают, и имеем гладкий прегладкий шар. Нечто похожее имеет место для решений эллиптических операторов.

Но я отвлекся. В процессе изучения B(u,v)=0 очень здорово, если B(u,v) появляется как производная некоторого вещественного функционала E:X--->R. То есть E'(u)(v)=B(u,v). В этом случае, как правило, изначальное уравнение L(u,...)=0 явлается так называемым уравнением Эйлера-Лагранжа для функционала E.

Так вот, стандартные подходы - это работать либо с L(u,..) непосредственно, либо с функционалом E(u) минимизируя его. Однако с уравнением непосредственно работать тяжело, а с функционалом у нас появлаются проблемы компактности - поскольку бесконечномерное пространство.

А почему не рассмотреть промежуточный вариант: а именно: выбираем некоторое количество тестовых функций v. Мы знаем что L(u)=0 влечет B(u,v)=0. Но для каждого v, {U: B(U,v)=0} дает нам ограничения в пространстве функций X. То есть в процессе доказательства существования решения и его свойств, мы можем перейти с пространства X на подмногообразие {U: B(U,v)=0}, где дополнительно выполняются B(u,v)=0. И работать уже там. Например, может так оказаться, что проблемы компактности будут не такими суровыми. Но главное даже не это, а то, что есть большой выбор в данной схеме - выбор этого самого множества тестовых функций целиком на совести изучателя. Выберет хорошую систему - получит свойства, выберет плохую - ничего не получит.

Например, предположим, что мы нашли такое подмножество тестовых функций, что соответствующее многообразие компактно - у нас резко возрастают шансы на доказательство существования решений и исследования их свойств.

Еще один момент, метод можно комбинировать с параметризацией путем конечно-мерных семейств функций. А именно, по данное конечной системе функций {u_1,...u_N}, мы можем рассмотреть функционалы, заданные на их линейной оболочке и получить уже обычные функции. Да-да, я говорю о методе Галеркина. Однако имея ввиду нелинейные случаи и так сказать большую вариабельность выбора этой самой конечной системы - у нас очень много конечномерных подпространств, а значит много возможностей.

Собственно, все это мне пришло в голову, в процессе наблюдения за реализацией такой схемы для изучения свойств полулинейного эллиптического уравнения. Там, как раз один дополнительный функционал вида B(u,u)=0, и одно-двумерные пространства с анализом свойств функций, получающихся из функционалов.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments