Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Categories:

Math: геометрия матриц, формула Стокса, End(k[x,y,...])

Всякие разрозненные мысли, о многом, если не обо всем, я уже когда-то упоминал.

1. Идентифируем множество квадратных действительных матриц M(N,N) как евклидово пространство размерности N^2 со стандартной метрикой. Различные подклассы матриц, такие как неособые матрицы, матрицы с единичным детерминантом, симметрические матрицы, ортогональные матрицы, идемпотентные матрицы, нильпотентные матрицы, и список можно продолжать. Так вот, мы имеем дела с различным подмножествами M(N,N), которые частенько бывают еще и подмногобразиями. Так вот, изучалась ли в деталях именно геометрия этого самого вложения подклассов во множество всех матриц. Под геометрией я имею ввиду самое разнообразное: как простейшую топологию, так и метрическую. Например, записать вторую фундаментальную форму, посчитать всякие разные кривизны, и т.д., и т.п. Есть ли интересные потоки на матричных подмногобразиях. Группу симметрии, если на внешнее Rn^2=M(N,N) в свою очередь действует какое-нибудь преобразование. Например, у нас задан поток на M(N,N), и смотрим, на каких условиях он сохраняет(трансформирует) матричные подмногообразия. Грубо говоря, обычный анализ и риманова геометрия в данном случае. Наверняка разрозненных работ вагон и маленькая тележка. А вот систематически в таком аспекте есть ли изложения? Книги, обзорные статьи? А если нет, то почему?

2. Опять-таки, про общую формулу Стокса. Все-таки, мне вот интересно, можно ли получать/доказывать различные хитрые (комбинаторные) формулы с помошью интегральных теорем типа Стокса. Другими словами: есть два интеграла и общая теорема, уравнивающая их. Возьмем специальное многообразие, его границу, дифференциальную форму (векторное поле) на нем. Посчитаем обе части, получим формулу.

3. Пространство эндоморфизмов кольца полиномов от нескольких переменных End(k[x,y,...]). Есть ли систематические изложения его свойств и структуры. Я тут по совету bravchick стал читать книжку по введению в D-модули, и буквально с первой главы меня посетил такой вопрос. Очень правильный объект по моему мнению, заслуживающий внимательнейшего изучения. Однако перелопачивать всю существующую литературу по алгебраической геометрии на предмет поиска информации о нем не представляется возможности. Хотя кое-что я бы посмотрел...
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 6 comments