Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: Забвение анализа и гипотеза Римана

Мне тут пришла в голову крамольная мысль: а ведь создается такое впечатление, что та самая знаменитая гипотеза Римана о нулях дзета функции до сих пор не доказана по очень простой причине - упадок анализа.

А именно, все лучшие математические умы, начиная со второй половины 20 века, уходили и уходят в алгебру, геометрию, топологию, где ими, да, были получены замечательные результаты во второй половине 20 века. Однако, собственно анализ оказался обескровленным. В терминологии Минковского там остались работать математики третьего сорта. Естественно, что ничего сравнимого они придумать не смогли, особенно если учесть, что в анализе у математика намного больше свободы, которую с умом может использовать лишь первоклассный математик.

Ведь смотрите, как было в начале века: бурно развивался функанализ, теория меры на конечномерных пространствах, теория обобщенных функций и функциональных пространств, теория вероятностей. Все шло более менее единым фронтом, и, однако, распалось на множествое мелких лоскутков. Функанализ пошел по пути обобщалова, в котором копаются одни адепты, доказывают кучу абстрактных теорем о которых никто не в курсе. Классический анализ конечномерных функций был по сути дела объявлен завершенным, и люди не только перестали работать в нем, так даже забывать уже давно известное.

Вы скажите, а поконкретнее можно. Можно, возьмем ту же гипотезу Римана. Есть одно очень частное утверждение о нулях вполне конкретной и довольно прилично изученной целой функции (легко получающейся из дзета-функции). Да, мы не можем доказать это утверждение. Однако, спросим себя более общо, а вообще какой-то общий метод исследования распределения нулей целых функций существует? А кто-нибудь занимался такими вопросами? А если и занимался, то что мы об этом знаем? Тогда почему мы надеемся решить задачу о нашей конкретной фунцкии, если мы даже не пытаемся заниматься общей теорией. Да, это сложно, и именно поэтому математики третьего-четвертого сорта ничего сделать не могут. А вы как хотели? Либо мы разрабатываем теорию изучения нулей произвольных целых функций, либо формулируем тысяче-первое следствие из гипотезы Римана, однако проще задача от этого не становится.

Вообще бесконечномерный анализ по сути дела не получил даже основной философии как развиваться, хотя было очевидно, что наиболее интересные задачи именно там. Вот такой маленький пример: любое сепарабельное Гильбертово пространство изоморфно l2, пространству с довольно простым описанием. А теперь я вас спрошу: вы где нибудь видели, чтобы его исследовали наподобие хотя бы обычного R^n. То есть тупо: взяли, записали все по координатам и изучаем, по возможности применяя общие теоремы функ-анализа, которых наклепали безумное количество, однако, их, как правило, мало кто знает, и главное никто в них не разбирался.

Я недавно отметил, что у нас сейчас, как и 100 лет назад, абсолютно никакой интуиции о внутренней геометрии бесконечномерных пространств. А потому, что никто не копался, все ушли на другие огороды.

Вот например, такая задачка: дано два линейных оператора A и B, действующие на банахом пространстве. Что мы вообще можем сказать о непрерывных путях, соединяющих эти два оператора. Например, пусть вдоль линейной гомотопии: F(t)=(1-t)A +tB все операторы пути инъективны с непрерывным обратным ||x|| < C||F(t)x||. Тогда если A сюръективен, то и B сюръективен. Эта теоремка составляет суть так называемого метода непрерывности в PDE. Так вот я начинаю думать, а как бы довльно простое доказательство присобачить, если у нас операторы нелинейны, но зато вместо линейной можно взять другие гомотопии между A и B. Однако, про это пространство путей совершенно ничего неизвестно, хотя задача очень естественна. Философия ведь крайне проста: стартуем с оператора с нужным нам свойством и пытаемся деформировать его в другой таким образом, чтобы сохранение свойства было очевидным. Постановка естественна, но такими вопросами аналитика не занималась в 20 веке. Вернее, если кто и занимался, то явно не первосортные математики, потому нам ничего и неизвестно.

Меня мало интересуют гомотопии в конечномерных пространствах, но меня очень интересуют вопросы, подобные предыдущему в бесконечномерных случаях. Однако, проблема в том, что ответов я не получу, поскольку сам я их не придумаю, а более толковые люди этим не занимаются, так и проходит время. Что-то надо менять, однако.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 27 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…