Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: Инъективный линейный оператор сюръективен - приложения к PDE

Я уже отмечал пару раз, что есть класс теорем, которые будучи внешне очень простыми, по настоящему элементарными, имеют такую особенность, что могут применены в самых разнообразных ситуациях. Так вот, за счет хитрого выбора этих ситуаций можно доказывать уже намного более интересные факты. Пример навскидку: принцип ящиков Дирихле.

Но я хочу поговорить о другом примере: а именно о простейшей линейной алгебре. Пусть у нас на конечномерном пространстве V, задан линейный оператор A:V---->V. Так вот, имеет место простая теорема: если ядро оператора A тривиально, то отображение сюръективно, то есть "на", или другими словами, уравнение Ax=y имеет решение x для любого y.

Ну теорема, как теорема, ничего в ней особенного нет. Однако посмотрите на красивое применение этой теоремы для доказательства разрешимости задачи Дирихле для уравнения Пуассона в единичном шаре.

А именно, Laplce(u)=tr(DDu) - след матрицы вторых производных функции u(x). Ставится задача:

Laplace(v(x))=f(x) in B - шар единичного радиуса
v(x)=0 на граничной сфере, где f(x) - известная неперерывная функция.

Теперь смотрим на рассуждение: на пространстве полиномов P_N степени не выше N, определим линейный оператор

A:P_N--->P_N по формуле

A(H)=Laplace[(1-|x|^2)H]. Все чисто, если H(x) полином степени не выше N, то (1-x^2)H(x) полином степени не выше N+2, Лапасиан - это сумма вторых производных. Значит, результат есть полином степени не выше N.

А теперь изучим ядро данного оператор. А именно, такие полиномы, для которых Laplace[(1-|x|^2)H(x)]=0, то есть (1-|x|^2)H(x) гармоническая функция в единичном шаре, и на границе шара она принимает нулевые значения. Тогда по принципу максимума (1-|x|^2)H(x) - нулевая функция, а значит и H(x) - нулевой полином. То есть оператор A инъективен, а значит сюръекивен и для любого полинома f(x) степени не выше N существует единственный полином h(x) степени не выше N, со свойством Laplace[(1-|x|^2)h(x)]=f(x). То есть полином g(x)=(1-|x|^2)h(x), будучи равным нулю на границе, доставляет нам решение уравнения Пуассона, для полиномиальных правых частей. А теперь можно использовать теорему о приближениях любой непрерывной функции многочленами, и докажем существование решения для любого непрерывного f(x)...

В книжках по PDE акцент делается на принципе максимума для гармонических функций, который гарантировал нам инъективность нашего оператора. Однако, я делаю акцент именно на той теореме линейной алгебры, которая нам позволила сделать утверждение у сюръективности этого оператора. И вот почему, мне думается, что эта техника явно может быть использована и в других ситуациях, когда начав с многочленов, мы докажем разрешимость задачи для них, а затем пробуем сделать предельный переход на более широкий класс функций. Вся прелесть в том, что на пространстве тех же многочленов, можно придумать самые разнообразные операторы, необязательно линейные, в результате интересная теорема алгебраической геометрии вполне может привести к вполне конкретным результатам в PDE.


Update:
Строго говоря, любой полиномиальный (нелинейный) дифференциальный оператор действует на пространстве полиномов, вообще говоря понижая степень, поскольку дифференцирование. Так вот, у меня теперь есть вполне внятная мотивация для углубленного изучения колец полиномов от нескольких переменных и модулей над ними. Именно потому, что я видел пример, как это можно использовать, причем даже не алгебраическую геометрию, а простейшую линейную алгебру.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments