Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Math: Prevalence 2

Еще немного про типичность.

Собственно, интуитивная идея восходит, как я понял из статьи, еще к Колмогорову: если у нас на пространстве объектов X задано N-числовых независимых друг от друга (нелинейных) функционалов: f_1,..,f_N. Теперь если мы пробежимся по всему пространству, образ в N-мером пространстве заметает область {f_1(X),...,f_N(X)}. Теперь интуитивно понятно, что если образ некоторого подмножества при таком отображении имеет нулевую меру, то и подмножество может считаться несущественым, малым. А его дополнение, напротив, типичным.

Однако, насколько я понял, в лоб эту идею так просто не реализуешь. И я думаю, вот почему. Во-первых, априорно совершенно неясно, что система конкретных функционалов независима, то есть другими словами, образ является N-мерным множеством. Скажем, на пространстве непрерывных функций u(x) in C[0,1] попробуйте доказать, что \int u(x), \int u^2(x), ...,\int u^N(x) образуют данную систему. То есть что нет соотношений вида \int u^{N+1} = F(\int u,...,\int u^N), где F(y1,...,yN) некоторая числовая функция. При этом ситуация даже сложнее: не должно быть таких соотношений и на "больших" подмножествах X. А ведь нам как раз надо определить эти большие подмножества.

Потому, более интересным является метод пертурбации множества. Грубо говоря, на исходном пространстве X мы имеем много способов "повращать" пространство. В некотором роде рассматривать семейства автоморфизмов пространства X. Типа G(x,p):(X,P)--->X, G(x,p_0)=x, где P - множество параметров, и при каждом значении p у нас морфизм X.

Теперь как определим типичные множества? Очень просто, типичное множество E преобразуется "в основном" в E относительно "почти всех" семейств преобразований. А именно, первоначально мы задаем класс допустимых G(x,p), p in P. Множество параметров P можно считать областью в конечномерном пространстве. А теперь для почти всех (в смысле лебеговой меры) параметров p, G(E,p) должно быть в E. Другими словами, блохи заполняют E, и по команде параметра p прыгают в соответствии с x--->G(x,p). Так вот, после прыжка, E остается заполненным почти для всех значений параметра p. Теперь требуем, чтобы это было выполнено почти для всех законов-семейств G(x,p). Другими словами, для большинства возможных "прыжков", блохи не оставляют E. Почему, а потому что нет места в пространстве X\E ! Значит E - большое и типичное множество, а дополнение к E мало и игнорируемо.
Tags: math
Subscribe

  • о внутренней оценке шахматной позиции

    Я в последнее время много размышляю о шахматах особенно в свете продолжающего прогресса силы шахматных движков (причем как стандартных так и…

  • Мат в 262 хода

    Не знал таких приколов: позиция "ладья и конь против двух коней" - мат в 262 хода.…

  • LeelaChess прогрессирует

    Между прочим, "народная" Альфа-Зеро, называемая ЛилаЧесс, доросла до уровня топ-движков, и уже играет с ними на равных и выигрывает (а до этого…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments