Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Math: Prevalence или типичность в бесконечномерных пространствах

Я тут почитываю статью в июльском Bull. of AMS про prevalence. Запишу кое-какие мысли.

Короче, в чем суть. Философски дело в описании объектов общего положения, типичных. Предположим, мы исследуем выполнимость некоторого свойства для функций, или объектов более общей природы. Так вот, частенько бывает так, что есть куча объектов, которые не удовлетворяют данному свойству. Однако, из интуитивных соображений мы также частенько можем предположить что если мы возьмем наугад некий объект, то он будет обладать нашим свосйтвом.

Пример: рассмотрим множество интегрируемых функций, и по данной функции посчитаем ее интеграл по промежутку. Мы можем ожидать, что у наугад взятой функции этот интеграл будет отличен от нуля. То есть вероятность, что случайно взятая функция интегрируется в ноль есть событие с нулевой же вероятностью.

Так вот, если мы берем наугад число из интервала [-1,1], то вероятность того, что мы попадем в ноль нулевая... относительно очень естественной, так называемой одномерной меры Лебега (а также кучи других мер). Собственно, на конечномерном пространстве мы можем определить меры, которые будут отражать наши интуитивные представления о типичности/нетипичности тех или иных событий/экспериментов.

Однако серьезные проблемы возникают в случаи бесконечномерных, в частности, функциональных, пространств. У нас также есть интуиция, но подтвердить ее уже намного сложнее.

А что делать, когда у нас нет и интуиции. Например, рассмотрим пространство непрерывных функций, и возьмем "наугад" некоторую функцию. Что можно сказать о ее дифференцируемости? Знакомый с кое-каким анализом может вспомнить такой факт, что нигде не дифференцируемые функции являются типичными функциями. Типичными в каком смысле? В смысле топологической категории! Более конкретно, нигде не дифференцируемые функции составляют так называемое residual set, а именно есть пересечение счетного числа открытых всюду плотных множеств, и в силу теоремы Бэра о категории является также всюду плотным.

В этом смысле "типичная" непрерывная функция является нигде не дифференцируемой, факт, здорово удививший бы математика 19 века. Однако тут есть некоторая загвоздка, дело ведь в том, что уже множество полиномов является всюду плотным множеством, то есть очень "большим". Да и утверждение, что большинство функций не-дифференцируемы таки противоречит рабоче-крестьянской интуиции.

В чем же дело? А в том же, что всюду плотное множество рациональных чисел имеет Лебегову меру ноль. То есть оно мало в смысле количественной меры, но не топологии.

Потому вопрос: можно ли определить "меру" на пространстве непрерывных функций разумным образом? Ответ отрицательный если требовать "естественных" от меры свойств. В частности свойства, что мера инвариантна относительно трансляции, и потому, скажем, шар из функций близких к нулю, должен иметь ту же меру, что и шар из функций близких к единице (или к какому-нибудь косинусу). Так вот, простые рассуждения показывают, что так как пространство становится бесконечномерным, то в любом конечном шаре можно без пересечений расположить бесконечное число равновеликих шаров, потому мера каждого из них должна быть либо ноль, либо бесконечность. Оба варианта не интересны.

Собственно говоря, в бесконечномерном пространстве слишком много направлений, плюс мы имеем очень смутное представление о внутренней количественной геометрии бесконечномерных пространств.

Так что же делать? Использовать топологические понятия множеств первой/второй категории не является хорошей альтернативой. Во всяком случае в их наивном варианте. У меня есть такая идея, что надо изменять топологию, и спрашивать о свойствах множеств в некоторой экстремальной топологии. Скажем, если мы начнем утончать евклидову топологию прямой, добавляя все больше и больше открытых и следовательно замкнутых множеств, то мы уменьшаем замыкания, и множества, которые были велики в топологическом отношении (с большим замыканием), уменьшаются. Однако, эти идеи, к моему сведению, не исследовались, и на сегодняшний момент остаются сугубо моими прожектами.

Но я отвлекся, какой же подход для выделения "больших"/"типичных" множеств излагается в статье?

Представим себе, что у нас интуитивно "большое" множество E и некоторое конечно-мерное подпространство P. На последнем у нас есть нормальная конечномерная мера Лебега m(n,P). Теперь пересечем наше большое множество E с данным подпространством. Мы должны получить большое пересечение. Большое, то есть имеющее полную меру! Так, ну тогда получается, что любое надмножество этого пространства P будет большим в данном смысле. Неудачно. Что же делать? Очень просто - рассмотрим всевозможные трансляции E+x, где x - произвольный элемент. Так вот, теперь же если каждое из трансляций будет после пересечения с P давать пересечение полной меры, то множество E явно большое. Смотрите, что происходит: если мы находимся во множестве E и делаем случайный скачок в любом направлении, то на пересечении с P ничего сушественного не происходит. Если считать каждый элемент E блохой, то после того как все блохи прыгнули в одном направлении, полка P как была заполнена блохами под завязку, так и осталась, несмотря на то, что все старые блохи с полки спрыгнули, но туда напрыгало новых! То есть блохи из множества E типично заполняют все пространство. Значит, множество E действительно большое и типичное.

Типа так. Если кто хочет подробностей, читаем статью:

William Ott; James A. Yorke., Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 263-290.


Так еще много любопытных вещей, особенно конкретных результатов о типичности тех или иных свойств.

Prevalence 2
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments