Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Fixed points. When Brauer meets Banach II?

Продолжу свою любимую тему о метрическом принципе сжимающих отображений Банаха и нахождению любых связей с топологическими теоремами о неподвижных точках.

В частности, можно ли утверждать, что из принципа Банаха следует теорема Брауера. Попробуем прикинуть, как это можно показать. Очень наивный подход: пусть дано непрерывное отображение шара в шар f:B--->B. Поскольку нам известно, что тогда существует неподвижная точка f(a)=a, то получаем, что ограничение f на эту точку дает нам сжимающее отображение, а значит, в теории из принципа Банаха следует теорема Брауера. Действительно, рассмотрим множество всевозможных f-инваринатных подмножеств шара (f,M; f(M) subset M). Если мы можем найти такое M, что ограничение f на M - сжатие, то все хорошо - принцип Банаха дает нам неподвижную точку в M, а значит и в B. Так как нам известно справедливость теоремы Брауера, то вместе с фактом, что ограничение любой функции на одноточечное множество есть сжатие, мы получаем теоретическую возможность доказать Брауера через Банаха, а именно, если независимым путем установить, что для некоторого f-инваринатного подможества M ограничение непрерывного отображения f на M есть сжатие, то получим искомое. Вопрос - как это сделать?

Заметим, что теорема Брауера не дает единственности неподвижных точек, то есть инвариантное множество неподвижных точек может быть сколь угодно большим. Последнее кстати, отдельный интересный вопрос, и в частности, если я правильно понимаю, любое замкнутое подможество шара может служить множеством неподвижных точек некоторого непрерывного отображения.

Попрубуем порассуждать о структуре инвариантных f-множеств. Самый простой способ построить таковое, есть рассечь весь B на непересекающиеся f-орбиты. А именно, выберем точку x1, и начнем итерировать ее: f(x1), f(f(x1)) и т.д. Получилось f-инвариантное не более чем счетное множество. Теперь берем неохваченную точку x2 и повторим процесс, и так "много раз", пока не переберем весь B. В чем первая проблем: число "много раз" должно быть несчетным, то есть процедура исчерпания/рассечения на орбиты не может быть конструктивной. Так как неподвижные точки соответствуют орбитам мощности 1, то такая процедура бесусловно находит и все неподвижные точки, или устанавливает их отсутствие. Однако, именно в этой задаче мы и заинтересованы. Масло масляное, но кто в этом сомневался.

Попоубуем подойти с другого конца: а именно, рассматривать такие подмножества, ограничение на которые функции f есть сжатие. А далее попытаться найти f-инвариантное сжатие. Как найти? Предлагаю вариант направления: ввести понятие сходимости на семействе всех подмножеств и доказать, что подсемейство всех f-сжатий обязательно имеет предельные f-инвариантные точки.

Хе-хе, но как это сделать, черт возьми!

Замечу, что рассуждения выше довольно наивны в том смысле, что мы не обязаны работать с начальной f и начальным же шаром, можно видоизменять f и шар B, сохраняя неподвижные точки, строить производные конструкции, для которых теорема Банаха будет очевидной, но как это сделать, естественно непонятно.

Update:

Кстати в связи с темой дискуссии, есть любопытный хотя и очень очевидный способ сводить решение уравненния F(a)=0, где F(x)=f(x)-x, к решению ODE y'=F(y). Тогда y=a это постоянное решение, и скажем, в двумерном случае у нас есть теория Пуанкаре-Бендиксона описания предельных множеств решений двумерного диффура. Таким способом можно доказать Брауера через диффуры, правда, к моему сведению, только в двумерном случае. Результаты в более высоких размерностях, в потенциале бесконечномерных, были бы крайне интересными. Однако, штука в том, что решение диффуров почему-то считается более сложной задачей, чем решение уравнений. Забавность однако в том, что, на мой взгляд, дело обстоит ровно наоборот: траектории x'=F(x) - непрерывно дифференицруемые кривые - вещь намного более хорошая, чем произвольная непрерывная функция F(x)=0.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments