Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Categories:

Matematicheskoe: Motivation (examples of compact and normal operators)

В современной математике, на мой взгляд, одна из главных проблем, это проблема мотивации того, почему нечто следует изучать, и чем это интересно/замечательно.

Читая статьи, написанные в 50-60-е годы и современные, ощутимо видишь разницу: а именно цель введения статьи это именно мотивировать предмет изучения, причем не для специалиста в теме, а для относительно стороннего математика. Не знаю сейчас, по-моему, ситуация много хуже. То ли поезд ушел настолько далеко, что прежняя тактика становится невозможным: слишком много предшественников, и на двух страницах все равно ничего не объяснишь, то ли попросту растеряли соответственные навыки, то ли нарочно запутывают, однако сейчас по введению понять, что делает автор, и почему это круто, совершенно невозможно. Такая цель попросту не ставится, при этом на мой взгляд, происходит смысловой разрыв даже в среде специалистов в предмете.

Повторюсь: читаешь статью 60-х годов, и как правило понимаешь, что за проблема стоит перед автором, что интересного было сделано до этого, что не сделано, и какие методы использовались.

В частности, у меня все более и более крепнет ощущение, что для того, чтобы разобраться в основах(именно в основах!) топологии и алгебраической геометрии надо читать не учебники, а оригинальные работы 30-50-х годов, где уровень изложения и мотивации намного выше, чем в современных учебниках, пусть даже самых распрекрасных. Зачем мне определение готовых аксиом гомотопий-гомологий, если у меня нет ощущения почему это должно быть именно так, а не иначе. И могут ли дела обстоять по другому? Могут, в том-то все и дело, и это как раз обсуждается в работах основоположников! В учебниках это все пропадает, либо появляется в качестве случайной ремарки на 222 странице, до которой "никто" никогда не доберется.

А что такое мотивация? Вот где-то видел мнение, что если аппарат теории применим для решения некоторой сложной задачи, и это известно, значит это и есть достаточная мотивация. А вот не согласен я. Теория "T" вовсе не обязана быть наилучшим возможным средством для решения даже для той задачи, которая впервые была решена методами теории "T". Однако, конечно же, если теория "T" дает больше результатов чем теория "K", в данном аспекте, то это дополнительная мотивация к ее изучению. Но именно, что дополнительная.

Другим примером мотивации могут служить некоторые общие схемы, где есть простор для обобщений и расширений. Есть много теории и техник, которые дают почти окончательные ответы в ряде областей, и именно поэтому соверешенно не изучаются - ведь все уже сделано, пределы применения более менее установлены.

В этом аспекте мне больше всего нравятся мотивации, когда естественным образом возникают специальные объекты внутри общих.

Пара примеров: Возьмем Гильбертово пространство H, и линейный ограниченный оператор на нем T:H--->H. На H мы можем ввести две топологии: стандартную топологию нормы, порожденной скалярным произведением, и так называемую слабую топологию, когда z--->0 означает, что (z,a)--->0 для любого a in H. Стандартный пример последовательности единичных векторов e_n=(0,..0,1,0,..) в l^2, которая сходится слабо к нулю, но расходитыса в норме, показывает что множество слабосходяшихся последовательностей много шире норм-сходящихся. Легко видеть, что если T in L(H,H), то (Tz,a)=(z,T*a)--->0 if z сходится слабо к нулю. То есть имеем обший паттерн: ограниченные операторы преобразуют слабосходящиеся последовательности в слабосходящиеся же.

А теперь зададимся естественным вопросом: а что если любая слабосходяшаяся последовательность преобразуется путем оператора T в норм-сходящуюся? Что за свойствами должен обладать T? Вопрос естественный - очень! И ответ хорош: в этом случае T обязан быть компактным оператором!

То есть компактные операторы возникли в этой схеме естественно в рамках внутреннего рассмотрения без привязки к каким-то конкретным приложениям и внешним мотивациям. Компактные операторы мотивированы попросту путем сравнения двух типов сходимостей.

Конечно, компактные операторы возникли исторически другим путем, и более того, далеко не каждый математик имеет в своей активной памяти сей критерий компактности ограниченного линейного оператора на гильбертовом пространстве. И это, на мой взгляд, как раз пример плохого образовательного подхода. Однако, понятие компактного оператора имеет много других и болле естественных мотиваций. Но не везде все так хорошо, как с компактными операторами. Потому примеры, как некоторые специальные понятия естественным путем выкристаллизовываются из общих крайне важны. Меня, во всяком случае, нахождения такого внутреннего представления/ограничения мотивирует чрезвычайно.

Еще пример, тоже из простейшего функанализа. Любой оператор T:H--->H имеет следующее представление:

T=(T+T*)/2 + i*(iT*-iT)/2=A+iB, где

i^2=-1
A=(T+T*)/2, A*=A
B=(iT*-iT)/2, B*=B

То есть любой ограниченный оператор представим в виде A+iB, где A,B - самосопряженные операторы. Кстати, сколько математиков знает/помнит об этом общем представлении?

А теперь произведем внутреннюю специализацию/мотивацию: выделим те операторы T, для которых самосопряженные части перестановочны, то есть AB=BA. Естественное выделение - очень. И таким образом мы получаем так называемые нормальные операторы, которые иначе характеризуются свойством TT*=T*T. Нормальные операторы интересны, тем что это ровно те операторы, которые "диагонализуются" (скажем, в конечномерном пространстве у них существует базис из собственных вектором; а в бесконечномерном они унитарно эквивалентны операторам умножения на функцию g--->fg в L^2(S,m)).

А теперь возьмем упомянутые мной примеры, и заметим, что у нас довольно много места для различных промежуточных обобщений. Например в первом примере, если мы возьмем некоторую топологию P между слабой и сильной и спросим себя, какие операторы преобразуют слабо сходяшиеся последовательности в сходяшиеся в данной топологии P, то мы получим P-обобщения компактных операторов. Естественно - да! Однако, много ли известно результатов? Мне мало, но это не значит, что их нет, и что они неинтересны, просто мало кто думает в данном направлении.

Второй пример: а что если самопряженные части коммутируют не везде, а лишь на некоторой решетке подпространств? Напомню, что для нормальных операторов известно более-менее полное описание их структуры, для обших же операторов незивестно даже существование инвариантного подпространства. Тем не менее, стартуя от преставления T=A+iB можно двигаться от нормальных операторов к общим.

Также ко второму примеру: другие канонические представления произвольного оператора T как многочлена от операторов с некоторыми специальными свойствами, то есть T=f(A,B,C,...) и выделения специальных классов в зависимости от дополнительных свойств A,B,C,....

При этом подчеркну, что сей метод имеет значительные дидактические преимущества: определения мотивируются посредством специализации общего случая. При этом видны дополнительные возможности и простор для собственных размышлений.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 171 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…