Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Matematicheskoe: Almost periodic functions from the functional point of view

Про почти периодические функции.

Любопытно, насколько я понимаю, данная тема не преподается в университетах, как и любой более менее нетривиальный анализ.

А ведь штука интересная и возникает естественным путем из следующих соображений.

А именно, мы рассматриваем множество ограниченных непрерывных функций Cb(R,X) заданных на всей действительной оси со значениям в банаховом пространстве X. На этом пространстве введем стандартную супремум-норму, задающую естественную топологию:

||f||=sup {|f(t)|X, t in R}

Теперь рассмотрим множество всех сдвигов функции f(t), а именно, совокупность всех функций вида f(t+C), где C пробегает все действительные числа. У нас получилось некоторое подмножество нашего топологического пространства. Рассмотрим замыкание этого множества S(f) в топологии супремум нормы.

Предположим теперь, что функция f(t+T)=f(t) - периодическая с периодом T. Легко видеть, что если f(t+Cn)--->g(t), то так в силу периодичности f(t) мы можем редуцировать последовательность сдвигов Cn на компактный промежуток [0,T], выбрать подпоследовательность, сходящуюся к C и получить, что g(t)=f(t+C). То есть для периодической функции множество S(f) компактно.

Возникает естественный вопрос: только ли для переиодических функций S(f) компактно?

Рассмотрим f(t,a,b)=Sin(at)+Sin(bt). Рассуждая, как выше, можно установить, что S(f) также будет компактным для любых соотношений a и b. Однако, легко видеть, что не для всех (a,b) f(t,a,b) является периодической - периоды не всегда сравнимы.

Так вот, разумно теперь определить почти периодические функции как ровно те функции, для которых S(f) = {замыкание множества сдвигов f}, компактно.

И дальше уже плясать от этого.

Делаю заметку на будущее: при возможности попосещать курс по почти периодическим функциям.

Еще любопытная штука: используя почти периодические функции, можно построить такую компактификацию множества действительных чисел R, для которой множество рациональных будет плотно в компактификации. И любая почти периодическая функция на прямой может быть однозначно продолжена на компактификацию, и более того, операция продолжения биективна. Другими словами: множество почти периодических функций может быть представлено, как множество непрерывных функций на компактификации.

MR0151691 (27 #1675)
Bogdanowicz, Witold
On the existence of almost periodic solutions for systems of ordinary nonlinear differential equations in Banach spaces.
Arch. Rational Mech. Anal. 13 1963 364--370.
34.95

Update:
Интересно, что для меня вышеописанное функциональное свойство компактности S(f) более естественно, чем стандартное требование существования почти периодов для любого малого e, то есть таких T(e), что |f(t+T(e))-f(t)| < e. Хотя, несложно показать эквивалентность этих двух определений.

Update 2:
Ага и еще наверное следует добавить, что в данном виде понятие почти периодичности переносится почти без изменений на случай, когда функции заданы на некоторой группе G. Также можно определить левые и правые сдвиги {f(ax)}, {f(xb)}, и требовать предкомпактности этих множеств.

Update 3:

MR1501752
v. Neumann, J.
Almost periodic functions in a group. I
Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), no. 3, 445--492.
43A60 (42A75)

MR1501777
Bochner, S.; von Neumann, J.
Almost periodic functions in groups. II
Trans. Amer. Math. Soc. 37 (1935), no. 1, 21--50.
43A60
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…