Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Fixed points. When Brauer meets Banach, if ever?

Поспекулирую немного на мою любимую тему: теорию неподвижных точек.

А именно, есть две замечательные теоремы о неподвижных точках. Теорема Брауера - о том, что любое топологическое пространство, гомеомофное n-мерноому шару обладает свойством неподвижной точки. То есть, всякое непрерывное отображение шара f:B-->B в себя с необходимостью имеет хотя бы одну неподвижную точку (f(x)=x). Замечу, что есть обобщение этой теоремы на компактные выпуклые множества Банаховых пространств.

Вторая теорема - это принцип сжимающих отображений Банаха: всякое строгое сжатие (T:M---M, d(Tx,Ty) < q*d(x,y), 0 < q < 1) метрического пространства (M,d) имеет единственную неподвижную точку.

Обе эти теоремы активно используются в анализе. Однако, что любопытно, я не видел доказательства одной через другую.

Алгебраически, принцип сжимающих отображений очень прост: только ленивый не включает его доказательство в самые разнообразные курсы.

Теорема же Брауера, напротив, требует весьма нетриваильной машинерии, и ее полное доказательство, как правило, пропускается.

Сжимающее отображение имеет единственную неподвижную точку, и динамика системы очень проста: неподвижная точка притягивает все остальное.

В случае же Брауера, точек может быть сколько угодно, никаких ограничений на структуру и динамику.

Банах - это метрическая теорема, Брауер - топологическая.

Тем не менее, крайне интересно было бы найти связи, хотя бы через доказательство Брауера через Банаха, ибо любое подмножество евклидова пространства явлается метрическим пространством. Неединственность можно попробовать обойти, либо путем сужения отображения на инвариантное подмножество, либо факторизовав шар таким образом, что все неподвижные точки уходят в одну, которая находится через принцип Банаха.

Вообще, можно рассуждать даже более обще: рассмотреть совокупность("категорию") всех пространств, гомеоморфных шару в некоторой размерности, а также рассмотреть "категорию" всех метрических пространств со сжимающими операторами в них. Теперь вопрос можно переформулировать так: найти "функтор" из одной категории в другую, из которого очевидно следует, что если мы имеем неподвижную точку в одной категории, то мы имеем ее и в другой, и наоборот.

Слова "категория" и "функтор" я здесь понимаю в обобщенном смысле, а не в смысле стандартной теории категорий.

Кстати, если продолжать мыслить в терминах "категорий", то опять-таки моделируя все пространства гомеоморфные шарам или выпуклым компактным подмножествам Банаховых пространств, то мы имеем теорему о неподвижной точки Брауера-Шаудера. Теперь такой вопрос - можно попробовать изучать эту структуру с абстрактной точки зрения, рассматривая всю совокупность как отдельный объект в некоторой "сверхкатегории". Штука, как определить свойство неподвижной точки абстрактно, и попробовать найти другую структуру, которая была бы как можно более близкой по свойствам, но не имела бы "свойства неподвижной точки".

Я понятно излагаю? А никто и не говорил, что будет легко. Иначе я бы давно стал профессором, а я никак PhD thesis не напишу...
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments