Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Cantor set and retracts; density topology

Насколько хорошо вы знаете троичное Канторово множество?


Так вот, буквально на днях прочитал про следуюшее, не побоюсь сказать, замечательное свойство, о котором мало кто упоминает. А именно: всякое замкнутое подмножество канторова множества является ретрактом!

В связи с этим у меня как обычно возникло куча общих вопросов. А именно, для каких топологических пространств все замкнутые подмножества есть ретракты?

Вообще, более обще: описание всех возможных ретрактов данного топологического пространства!

Например, возьмем замкнутый евклидов шар в N-мерном пространстве. Какие подмножества являются его ретрактами? Знаменитая теорема Брауера о неподвижной точке эквивалентна тому, что сфера - граница шара не является ретрактом. Еще примеров интересных не-ретрактов шара?

Update:
Напомню, что ретракт пространства X на подмножество C, это отображение r:X--->C, оставляющее неподвижными все точки C, то есть проекция на C, в частности r(r(x))=r(x).

Замечательное свойство ретрактов, это то, что, что практически вся топология переходит с X на C. В результате, чем "меньше" C, тем проще получать результаты об его топологии, которые легко транслируются в результаты для X. Пример: гомотопические и гомологические группы X и C совпадают; множество X обладает свойство фиксированной точки тогда и только тогда, когда этим свойством обладает C.


И напоследок, также на днях прочитал о так называемой density topology. А именно, на измеримом подмножестве E действительной прямой для каждой точки x можно ввести понятие плотности D(x,E) подмножества E: а именно, предел отношения линейной меры пересечения E с отрезком (x-a,x+a), деленной на длину отрезка 2a, при a--->0.

Так вот, множество называется множеством плотности единица, если во всех его точках плотность равна единице. замечательный факт, что множества плотности единица образуют топологию, а именно: пересечение двух таких множеств имеет плотность единица, и объединение любого количества множеств плотности единица, также имеет плотность единица. Очевидно, что открытые интервалы (A,B) имеют плотность единица, значит, если за базу топологии взять все множества плотности единица, то получим топологию, более сильную, чем евклидова. Интересный объект.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments