Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Categories:

Matematicheskoe: definite integrals via line integrals and potential vector fields

Задумчиво. Вот сейчас мои студиосы проходят линейные интегралы второго рода, и мне всякие мелкие идеи приходят на ум.


Вот, скажем, такая: если мы считаем линейный интеграл от векторного поля F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) по данной параметризованной кривой r(t)=(x(t),y(t),z(t)), то формально надо посчитать следующий интеграл от Pdx+Qdy+Rdz={P(t)x'(t)+Q(t)y'(t)+R(t)z'(t)}dt.

У нас имеется функция(заданная выражением в скобках) от одного переменного. Но вот сможем ли мы взять от нее интеграл в явном виде? Это вопрос, и большой вопрос.

Однако, все здорово облегчается, если поле потенциально, или другими словами, дифференциальная форма Pdx+Qdy+Rdz точна, и мы можем найти потенциал U(x,y,z), dU=Pdx+Qdy+Rdz; тогда вычисление линейного интеграла попросту сводится к теореме Лейбница: U(B)-U(A), где A,B соответственно начальная и конечные точки кривой.

Но заметим, тем самым мы посчитали и интеграл от f(t)=P(t)x'(t)+Q(t)y'(t)+R(t)z'(t). Так вот, я задался вопросом, а можно ли использовать эту методологию для подсчетах обычных определенных интегралов путем представления интегранта f(t) как дифференциального выражения, пришедшего из потенциального поля (P,Q,R) вдоль некоторой параметризованной кривой (x(t),y(t),z(t)).

Собственно, вопрос возник из проверки экзамена, где народ заменял интегрирование вдоль параболы, интегрированием вдоль отрезка с теми же концами, и хотя векторное поле было не потенциальным, ответ получался правильным, что создало проблемы при проверке, поскольку одного ответа было недостаточно. Так вот, причина такого совпадения была в том, что для другого уже потенциального векторного поля интегрант вдоль того же пути был одинаков!

Более конкретно:

F=(y,x^2), r(t)=(t,t^2), 0< t <1

Считаем, получаем:
(t^2,t^2)(1,2t)=t^2+2t^3

А теперь другое поле
G=(x^2,y) Оно уже потенциальное с потенциалом U=(1/3)x^3 +(1/2)y^2

Считаем интегрант вдоль того же пути: (t^2,t^2)(1,2t)=t^2+2t^3

Однако нам уже не нужно делать интегрирование, поскольку ответ должен быть U(1,1)-U(0,0)=1/3 + 1/2=5/6.

Конечно, пример выглядит искусственным, но надо подумать можно ли это дело обобщить разумным образом. Вся штука в том, что всю сложность f(t) перевести в кривую, там могут возникать страшные экспоненты, косинусы, и т.д. Векторное же поле можно брать полиномиальным потенциальным. Как только представили интегрант таким образом, можем считать определенные интегралы с помощью потенциальной функции.

Update:
Кстати, из приложений на ум приходят численные методы, где можно заменить исходный интегрант приближением, интегрировать потенциалом и оценить разницу.

Update 2:
Легко видеть, что если потенциальное представление получено для f(t) то, меняя t, мы можем выразить первообразную F(t) через потенциал U(x,y,z) и параметризацию (x(t),y(t),z(t)). Таким образом, если все это в элементарных функциях, то и первообразная будет в элементарных, это ограничивает список f(t). С другой стороны, рискну предположить, что если f(t) имееет первообразную в элементарных, то ее можно найти на описанном пути. Так как задача об интегрировании в элементарных решена в общем виде, то можно рассматривать предложенный метод как попытку эффективного интегрирования.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments