Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Algebras of generalized functions

Пара заметок об обобщениях стандартных обобщенных функций.

Стандартно обобщенные функции вводятся как функционалы на пространстве бесконечно дифференцируемых функций. Почему именно так? А просто в таких случаях можно придать смысл производной любого порядка от обобщенной функции посредством формулы (f',H)=-(f,H'), где в данной формуле H(x) обычная бесконечно-дифференцируемая функция, а (f,H)=f(H), (f',H)=f'(H)) попросту значение функционала f (f') на функции H. При этом для любой обычной интегрируемой в квадрате функции f(x), (f,H) попросту понимается как интеграл от произведения: Int(f(x)H(x)dx).

Так вот любые линейные дифференциальные выражения при таком подходе приобретают смысл даже когда в качестве решений фигурируют произвольные функционалы. В результате, приобрел невероятную популярность следующий метод: сначала доказывают, что интересующее нас уравнение имеет решение среди функционалов - обобщенных функций. Затем получают единственность, а потом доказывают, что данный функционал-решение, это не что иное, как обычная функция.

Так вот, все это относительно неплохо работает для линейных уравнений и систем, но вот в чем засада: на пространстве бесконечно-дифференцируемых функций u=u(x) имеют смысл выражения вида G(x,u,Du,...,Dku), где G(...) произвольная гладкая функция своих аргументов.

Так вот, попытка придать смысл выражению F(x,u,Du,...,Dku), когда u(x) произвольный функционал наталкивается на следующие проблемы. А именно, в пространстве функционалов не определено умножение - произведение двух обобщенных функций может не иметь смысла. Простой пример: попробуйте определить квадрат функции Дирака: F(H)=H(0), определение F^2(H)=F(H)*F(H)=H^2(0) дает нелинейный функционал.

Другими словами, пространство обобщенных функций не является алгеброй, а потому не приспособлено для нелинейных уравнений.

Потому, давно идет поиск более общих обьектов, которые имеют смысл для нелинейных PDE.

Одна из основных идей следующая:

А именно, в классической теории распределений(обобщенных функций) хорошо известны аппроксимационные результаты. А именно, существует последовательность обычных бесконечно-дифференцируемых функций, которая сходится (в определенной топологии) к данной обобщенной функции. Обычно в учебных курсах приводится пример аппроксимации точечного функционала Дирака посредством F(x/a)*a-n при a --->0.

Так вот возникает идея думать о функционале как о данной последовательности бесконечно-дифференцируемых функций, аппроксимирующей его. Однако, вот незадача: аппроксимация неединственна (помните, я как-то вел речь о подобном). Таким образом, функционалу соответствует целый класс последовательностей.

По этой идее и идем: рассмотрим алгебру всех последовательностей (H1, H2,..., Hn,...) бесконечно-дифференцируемых функций с почленными операциями умножения и сложения, и факторизуем ее по некоторому идеалу данной огромной алгебры. Если мы выберем разумный идеал, то получившийся обьект также будет алгеброй с набором свойств. Задача: получить как можно больше хороших свойств для решения тех же PDE.

В чем проблема: чем больше наша алгебра, тем более вероятно, что мы сможем найти решение интересующего нас диффура. Однако, чем больше алгебра, тем более вероятно, что решение будет неединственным, а потому доказать существование классического решения будет очень сложно. Например, еще в 30-е годя был доказано существование слабого глобального решения уравнения Навье-Стокса. Проблема, в том, что как показали примеры, оно заведомо неединственно.

Так вот, народ и пытается заниматься попыткой баланса. Есть конкурирующих групп, и у меня в планах познакомиться с ихними вариантами, поскольку разные обобщенные функции имеют разные преимущества и недостатки.

Ключевые имена:
E.E. Rosinger,
J.F.Colombeau,
Yu.V. Egorov
M.B.Oberguggenberger

MR1084986 (92d:46097)
Egorov, Yu. V.(2-MOSC)
On the theory of generalized functions. (Russian)
Uspekhi Mat. Nauk 45 (1990), no. 5(275), 3--40, 222; translation in Russian Math. Surveys 45 (1990), no. 5, 1--49
46Fxx (35Dxx 46-02)

----------------------

MR1883540 (2002m:46069)
Rosinger, Elemer E.(SA-PRTR-AM)
How to solve smooth nonlinear PDEs in algebras of generalized functions with dense singularities. (English. English summary)
Appl. Anal. 78 (2001), no. 3-4, 355--378.

MR1699847 (2000i:35006)
Rosinger, Elemér E.(SA-PRTR-AM)
Arbitrary global Lie group actions on generalised solutions of nonlinear PDEs and an answer to Hilbert's fifth problem.
Nonlinear theory of generalized functions (Vienna, 1997), 251--265,
Chapman & Hall/CRC Res. Notes Math., 401,
Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 1999.

MR1658516 (2000c:35009)
Rosinger, Elemér E.(SA-PRTR-AM)
Parametric Lie group actions on global generalised solutions of nonlinear PDEs. (English. English summary)
Including a solution to Hilbert's Fifth Problem. Mathematics and its Applications, 452.
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998. xviii+234 pp. ISBN 0-7923-5232-7


MR1286940 (95k:35002)
Oberguggenberger, Michael B.(A-INSB-MG); Rosinger, Elemer E.(SA-PRTR-A)
Solution of continuous nonlinear PDEs through order completion.
North-Holland Mathematics Studies, 181.
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1994. xvi+432 pp. ISBN 0-444-82035-3

MR1028764 (92f:35042)
Rosinger, Elemer E.
Characterization for the solvability of nonlinear partial differential equations.
Trans. Amer. Math. Soc. 330 (1992), no. 1, 203--225.

MR1091547 (92d:46098)
Rosinger, Elemer E.(SA-PRTR)
Nonlinear partial differential equations.
An algebraic view of generalized solutions. North-Holland Mathematics Studies, 164.
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xxii+380 pp. ISBN 0-444-88700-8


MR0918145 (89g:35001)
Rosinger, Elemer E.(SA-PRTR)
Generalized solutions of nonlinear partial differential equations.
North-Holland Mathematics Studies, 146. Notas de Matemática [Mathematical Notes], 119.
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1987. xviii+409 pp. ISBN 0-444-70310-1

MR0514014 (80j:46067)
Rosinger, Elemer E.
Distributions and nonlinear partial differential equations.
Lecture Notes in Mathematics, 684.
Springer, Berlin, 1978. xi+146 pp. ISBN 3-540-08951-9

----------

MR1222643 (94h:46066)
Colombeau, Jean-François(F-ENSLY)
Multiplication of distributions.
A tool in mathematics, numerical engineering and theoretical physics. Lecture Notes in Mathematics, 1532.
Springer-Verlag, Berlin, 1992. x+184 pp. ISBN 3-540-56288-5


MR1028141 (91c:46053)
Colombeau, J.-F.(F-BORD)
Multiplication of distributions.
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 23 (1990), no. 2, 251--268.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments