Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: No minimal dense set in a metric space without isolated points

Я тут как-то интересовался минимальными всюду плотными множествами. Так вот случайно наткнулся на простой негативный ответ.

А именно: любое счетное всюду плотное множество метрического пространства (M,d) без изолированных точек можно представить в виде объединения непустых непересекающихся всюду плотных же подмножеств.

Доказательство крайне простое.

Во-первых, заметим, что если последовательность X_n всюду плотна в (M,d), а другая последовательность Y_n обладает свойством d(X_n,Y_n)--->0, то Y_n также всюду плотна в (M,d). Это тривиально, поскольку для любого элемента x пространства M найдется подпоследовательность X_n сходящаяся к x. Ясно, что та же подпоследовательность Y_n сходится к x.

А теперь очень просто: начнем с X_1, по плотности найдем элемент X_p1, p1>1, так что d(X_p1,X_1)< 1, далее найдем q1 > p1, так что d(X_q1,X_p1)< 1, затем найдем p2>q1, со свойством, что d(X_p2,X_2) < 1/2, затем q2>p2 так, что d(X_q2,X_p2)< 1/2, и так далее.

Получим две подпоследовательности X_pN и X_qN, при этом из построения обе всюду плотны по вышеупомянутому свойству: d(X_pN,X_N)<1/N, d(X_pN,X_qN)<1/N.

MR0662771 (83h:46016)
Labuda, Iwo; Lipecki, Zbigniew
On subseries, convergent series and $m$-quasibases in topological linear spaces.
Manuscripta Math. 38 (1982), no. 1, 87--98.

Таким образом, минимальных всюду плотных множеств не существует, что абсолютно не противоречит первичной интуиции.

Заметим, что условие отсутствия изолированных точек в (M,d) существенно, это видно как из доказательства, так и из приведенного мной ранее примера множества натуральных чисел N и его компактификации Стоуна-Чеха bN, в котором множество N составлает в точности всюду плотное множество всех изолированных точек.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments