Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: The set of all approximations to an element

Так вот, предыдущий и многие другие подобные результаты наводят меня на самые разнообразные размышления.

А именно, например, можно рассмотреть множества всевозможных липшицевых аппроксимации правых частей ОДЕ, и рассмотрением соответствующих решений задачи Коши у аппроксимационных систем. Получится огромное множество. Вопрос, можно ли его изучить в надежде на получение описанных и более тонких результатов? Например, такая сверхзадача: описать, в более-менее явном виде конкретных представителей той или иной динамики. Другими словами, для фиксированной правой части f(x), указать наиболее простое уравнение с той же динамикой. Так сказать, теория обобщенных нормальных форм.

Вообще, можно рассмотреть даже более общую задачу.

В топологическом пространстве, рассмотрим для фиксированного элемента, множества всевоможных аппроксимирующих последовательностей. Можно ли описать это множество в конкретных случаях, и используя ту или иную аппроксимацию получать свойства самого элемента.

Фишка в том, что аппроксимация частенько может быть выбрана с много лучшим свойствами, чем сам элемент. Например, пространство Соболева получается как пополнение бесконечно-дифференцируемых функций в интегральной норме. Потому, в некотором смысле любое свойство пространства Соболева это в точности те свойства бесконечно-дифференциеруемых функций, которые сохраняются при переходе к пределу. Заметим, что сохранение свойства может зависеть от выбранной последовательности.

Еще пример: любую целую функию можно аппроксимировать многочленами, равномерно сходящимися на любых компактах. Так вот, нули этой самой целой функии, в свою очередь, хорошо аппроксимируются нулями же приближений. Потому, в некотором смысле понимание нулей целой функции эквивалентно пониманию нулей членов аппроксимирующей последовательности. Привет гипотезе Римана!
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments