Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Approximation in ODE

Как известно, сложные вещи могут быть аппроксимированы посредством более простых. Операция же предела дает качественый скачок сложности. С другой стороны, предел вещь довольно конкретная, и считаемая.


Опять-таки, самая классика: теорема Вейерштрасса о приближении непрерывных полиномами....

Или, вот, прочитанное на прошлой неделе:

А именно, рассмотрим автономную систему ODE:


x'=f(x), x(0)=u

x:[0,T]--->R^n, f:R^n--->R^n, u in R^n


С непрерывной правой частью f(x).

Так вот штука в том, что если мы налагаем только непрерывность на f(x), то у нас есть существование, но нет единственности решения задачи Коши. Однако, если f(x) липшицева, то есть и единственность.

Так вот, тем не менее следующий результат не выглядит таким уж неожиданным: а именно для фиксированного решения y(t) исходной задачи, существует последовательность Липшицевых функций Fn(x) сходящаяся к f(x) и обладающая свойством, что последовательность решений Xn(t) соответствующих задач Коши

X'=Fn(X), X(0)=u

(которые единственны в силу Липшицевости F_n)

сходится к y(t).

Утверждение локальное, поскольку зависит от решения y(t). Тем не менее, результат любопытный.


Похожий результат того же автора:

А именно, динамические свойства решений диссипативных систем (последнее означает, что все решения на бесконечности остаются в фиксированной области, а, значит, имеет смысл говорить о динамике) в любой размерности могут быть моделированы на решения всего-лишь трехмерной системы. А именно, для исходной n-мерной диссипатитвной системы,

u'=F(u), F:R^n--->R^n, u(0)=a

имеющей единственное решение задачи Коши u=U(t;a)

существует такая трехмерная система

x'=f(x), f:R^3--->R^3

и отображение трехмерного фазового пространства

H:R^3---->R^n на n-мерное. Со свойством, что найдется такое решение трехмерной системы x(t), что H(x(t)) близко к U(t;a) на конечном интервале [0,Т].

MR1690193 (2000a:34008)
Robinson, James C.(4-OX-AM)
Solutions of continuous ODEs obtained as the limit of solutions of Lipschitz ODEs. (English. English summary)
Nonlinearity 12 (1999), no. 3, 555--561.

http://www.iop.org/EJ/abstract/0951-7715/12/3/008/

MR1618006 (99d:58124)
Robinson, James C.(4-CAMB-A)
All possible chaotic dynamics can be approximated in three dimensions. (English. English summary)
Nonlinearity 11 (1998), no. 3, 529--545.

http://www.iop.org/EJ/abstract/0951-7715/11/3/007/
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments