Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Matematicheskoe: Homotopy groups, explicit representatives

Что-то пробило на размышления о гомотопических группах.

Конкретно, для данного топологического пространства X рассматривается множество всех отображений n-мерной сферы в X. Два отображения f(s), g(s) считаются эквивалентными, если существует гомотопия, переводящая одно в другое. То есть непрерывная функция

F(s,a):(S^n,[0,1])--->X,
F(s,0)=f(s)
F(s,1)=g(s)

Множество всех классов эквивалентности таких отображений можно наделить структурой группы, которая называется n-гомотопической группой пространства X. При n>=2 она абелева.

Гомеоморфные пространства обладают одинаковыми гомотопическими группами, потому один из способов различать пространства - это посчитать группы, и если они различаются хотя бы в одной размерности, то пространства на гомеоморфмны, и даже не гомотопны.

Однако, любопытная штука, что подсчет этих самых групп - задач нетривиальная. Например для m-мерной сферы группы Гомотопий неизвестны. Вернее, до размерности m-1 они нулевые, в размерности m нетривиальны и изоморфны целым числам, а дальше наступают сложности: высшие гомотопические группы сфер до сих пор полностью не вычислены.

Насколько я понимаю, как человек весьма далекий от топологии, основные методы вычисления сугубо алгебраические: спектральные последовательности и прочая муть. Кстати, довольно много гомотопических групп известно в явном виде.

Так вот это все лирика, а задумался я над простым вопросом. Вот пусть нам дана явно вычисленная n-мерная группа гомотопий P(n,m) m-мерной же сферы, n>=m. Можно ли указать полную систему представителей классов этой группы? А именно: любое отображение сферы в сферы можно записать в координатах в явном виде.

Например, для P(1,1) мы имеем что компексные отображения z--->z^n дают явное представление фундаментальной группы окружности.

Так вот, кто-нибудь выписывал в явном виде другие группы, посредством явных представителей в каждом классе?

И второй вопрос, если у нас есть такая запись, и есть произвольное координатное представление некоторого отображения, есть ли методы определения в каком классе находится данное отображение?

Другими словами, возвращаемся к истокам, и мыслим сугубо конкретно: даны два отображения, установить гомотопны они друг-другу или нет.

Update:

Да и еще: куча интереснейших вопросов возникает, если вдобавок требовать, чтобы представители были из специальных классов отображений. Например, бесконечно-дифференцируемые, или со специальными метрическими свойствами. Например, рассмотрим некоторую метрическую топологию, зададим отображение, и спросим себя: можно ли найти представителя гомотопического класса на расстоянии меньшем наперед заданного числа.

Update 2:

Да, и вопрос, естественно можно поставить в самой большой общности: по данной паре двух пространств (X,Y) записать какие-нибудь представители гомотопных классов C(X;Y).

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/homotopy.spheres
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 9 comments