Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Lipschitz solutions of the Cauchy-Riemann system

Любопытный и несколько неожиданный результат по поводу решения уравнений Коши-Римана в области D с заданными граничными значениями.


А именно рассмотрим систему:

U_x=V_y,
V_x=-V_y in D

U(x,y),V(x,y) given on the boundary of D.

Оказывается, всегда существует липшицево решение (почти всюду) этой системы с заданными значениями на границе области.

С другой же стороны, из комплексного анализа хорошо известно, что C^1 решение аналитично внутри области, но вот релаксируем требования - уходим в Соболево пространство W(1,infty) и получаем решение граничной задачи!

Ключевое имя:

Dacorogna Bernard
Implicit Differential Equations

Update:

Однако, я выше наврал, и наврал прилично.

Во-первых, то, что я сказал, это попросту не так: есть теорема о моногенных функциях, по которой, если функция почти всюду в области имеет производную вдоль двух линейно независимых направлений (направления не обязаны быть одними и теми же), то она аналитическая. Условия Коши-Римана, это как раз существование производных вдоль двух направлений. Грубо говоря, интеграл по любом треугольнику ноль - функция аналитическая (теорема Мореры).

Что же имелось ввиду в книге, так это почти всюду функция U+iV удовлетворяет либо Коши-Римана либо анти Коши-Римана(в правых частях изменим знак). То есть отображение U+iV либо конформно, либо антиконформно, притом граничные значения заданы.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments