Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: The Peano theorem for an abstract ODE in infinite dimensional spaces

Кстати, про теорему Пеано.


Последняя утверждает, что задача Коши для

u'=f(t,u), u(0)=v,
u(t):[-a,a]--->R^n, f(t,u):U--->R^n

имеет локальное решение для любой непрерывной функции f(t,u) на области U in [-T,T]x R^n.

А теперь заменим R^n произвольным Банаховым пространством Z, и спросим справедлив ли аналог подобой теоремы? Так вот, сначала Дьедонне нашел контрпример на c0, потом нашли примеры для произвольного Гильбертова пространства H, и в конечном счете было установлено, что локальная разрешимость задачи Коши для абстрактного ODE над пространством Z и любой непрерывной f(t,u):[-T,T] x Z --->Z, с необходимостью влечет конечномерность пространства Z.

Другими словами, на бесконечномерном пространстве Z всегда можно найти такую непрерывную f(*,*) и такие начальное условие v in Z, что ODE u'=f(x,u), u(0)=v не имеет даже локального(на небольшом промежутке) решения.

MR0364797 (51 #1051)
Godunov, A. N.
The Peano theorem in Banach spaces. (Russian)
Funkcional. Anal. i Prilo\v zen. 9 (1974), no. 1, 59--60.

А если заменить непрерывность f(*,*) более сильным условием, например Липшицевостью in u, то теорема снова становится верной. Определение необходимых и достаточных условий, когда это будет так - интереснейшая проблема, даже в R^n.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments