Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Compactness and projections

Размышления на тему компактности.

Что есть компактность? Очень простая штука: у нас есть бесконечное множество A in X, и мы хотим найти сходящуюся подпоследовательность. Более общо: определить все предельные точки множества A.

В конечномерном пространстве компкатность эквивалентна замкнутости и ограниченности.

Но в интересных проблемах анализа мы имеем дело с бесконечномерными пространствами - пространствами функций.

А вот здесь из ограниченности компактности вовсе не следует. Верна даже теорема Рисса: если в локально выпуклом топологическом векторном пространстве (например нормированном) некоторая окрестность нуля компактна, то пространство с необходимостью конечномерно. Кстати, если подобная окрестность ограничена, то пространство нормируемо.

Таким образом, из ограниченности множества вовсе не следует его предкомпактности (замыкание компактно).

Возникает резонный вопрос: как выявлять предкомпактные множества? Обычно етот вопрос решают прямыми теоремами, дающими критерии компактности. Чем абстрактнее критерий, тем сложнее его проверять. На мой взгляд, нужны критерии некомпактности.

Недавно мне пришла в голову следующая идея: рассмотрим всевозможные конечномерные подпространства X. Спроектируем наше множество A на эти подпространства. Если оригинальное множество было ограниченным, то и проекция будет таковым. Поскольку ограниченные множества предкомпактны в образах, то все проекции предкомпактны. Рассмотрим множества предельных точек в каждой проекции - они не пусты.

Вопрос, можно ли различить исходно-компактное множество A, имея информацию о всевозможных конечномерных проекциях. Другими словами, проявляется ли свойство быть прекомпактным при проекциях на конечномерные подпространства. Ответ может быть и нет.

Но можно обобщить: проекторы есть ни что иное, как конечномерные операторы на исходном пространстве P:X--->X. Заменим конечномерные операторы P просто компактными T:X---->X, и для данного ограниченного множества A in X, рассмотрим совокупность T(A), где T in K(X,X)- пространство компактных операторов. Можно ли различить компактность множества A по свойствам проекций T(A)?
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments