Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Some identities about spectrum (operators on Hilbert spaces)

Пара любопытных тождеств из теории операторов на Гильбертовых пространствах.

Пусть B:H--->H произвольный линейный ограниченный оператор на гильбертовом прострастве H, (*.*)

Рассмотрим

a=m(A)=inf{(Ax,x): ||x||=1},
b=M(A)=sup{(Ax,x): ||x||=1}.


Тогда Re(l) in [m(A),M(A)], где l - элемент спектра оператора A, то есть комплексное число со свойством: оператор l*Id-A не имеет ограниченного обратного.

Но более интересна следующая формула:

Обозначим

M(T,A)=sup{{(T-1ATx,x): ||x||=1}},

тогда

mu(A)=max{Re(l): l из спектра A}=inf{M(T,A): T обратим}.

Последние формулы пишу по памяти, так что могу соврать, перепутав, например inf и sup.

Тем не менее интерпретация формул может быть такова: если мы имеем дело с самосопряженным оператором A, то тогда спектр будет действительным и содержится в [m(A),M(A)].

Если же мы имеем дело с произвольным оператором, то мы обратим внимание на его нормализатор {T-1AT}, и посчитаем M(.), так вот после того, как мы возьмем инфимум этих величин по нормализатору. Мы получим как раз правую границу спектра исходного оператора, что абсолютно необходимо для определения проблемы устойчивости x'=Ax: если все собственные числа матрицы лежат в левой полуплоскости, то система устойчива. В бесконечно-мерном случае собственные числа заменяются компактным спектром. Тем не менее, есть красивая формула.

Update:
Статья, кажется, эта:

MR1711590 (2000f:93067)
Bobylev, N. A.(RS-AOS-CN); Bulatov, A. V.(RS-AOS-CN)
An estimate for the margin of stability of infinite-dimensional systems. (Russian)
Dokl. Akad. Nauk 365 (1999), no. 6, 750--752.

MR1817194 (2002a:93092)
Bobylev, N. A.(RS-AOS-CN); Bulatov, A. V.(RS-AOS-CN)
Robust stability of linear infinite-dimensional systems. (Russian. Russian summary)
Avtomat. i Telemekh. 1999, , no. 5, 32--44; translation in Automat. Remote Control 60 (1999), no. 5, part 1, 628--638

Update 2:

Соврал однако: формула

mu(A)=max{Re(l): l из спектра A}=inf{M(T,A): T обратим}

верна лишь для компактного оператора A, в общем же случае мы имеем лишь неравенство,
mu(A)=max{Re(l): l из спектра A}<=inf{M(T,A): T обратим}

поскольку любой элемент нормализатора {T-1AT} имеет такой же спектр. Тем не менее, даже это неравенство вполне можно использовать для получения правой оценки на спектр A и соответственной устойчивости x'=Ax.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 11 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…