Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Matematicheskoe: A generalization of the Stone-Weierstrass theorem

Любите ли вы теорему Стоуна-Вейерштрасса так, как люблю ее я?


Как, вы забыли, что это такое? Ничего, это поправимо.

Оригинальная теорема Вейерштрасса утверждает, что многочлены всюду плотны в пространстве непрерывных на отрезке функций C[a,b], взятом с естественной нормой супремума.

А именно, для любой непрерывной f(x):[a,b]--->R, и любого сколь угодно малого E, найдется многочлен p(x) такой, что sup |f(x)-p(x)| < E

У этой теоремы есть замечательное по общности и охвату обобщение. Например, я не уверен, что до конца его понимаю.

А именно, для любого метрического компакта K, рассмотрим банахово пространство непрерывных действительно-значных на K функций X=C(K) с супремум-нормой. Данный объект одновременно является линейным пространством над R и кольцом, с естественными операциями сложения и умножения функций, и умножения на скаляры.

Теперь как звучит теорема Стоуна: если нам дана подалгебра A пространства C(K), которая разделяет точки K, а именно для любых различных точек x,y из K существует элемент подалгебры f, такой что f(x) отличен от f(y). Так вот, в этом случае замыкание A в C(K) совпадает с C(K), то есть A всюду плотна.

Теперь пройдемся по всем предпосылкам теоремы. Требование разделения точек очень естественно: если все функции имеют в некоторой точке одно и то же значение, то и в замыкании по супремум-норме все функции будут иметь одно и то же значение, и как максимум мы никак ни получим всю алгебру непрерывных.

Далее, A должно быть линейным подпространством, иначе мы также не получим всего пространства непрерывных.

А вот требование быть подкольцом уже намного интереснее. Конкретно, если f и g в A, то и их произведение fg в A. Рассмотрим тождество 2fg=(f+g)^2-f^2-g^2. Таким образом для бытия подкольцом достаточно требовать, чтобы A было линейным подпространстом C(K), и было замкнуто относительно нелинейного отображения f--->f^2.

Так вот, в этой переформулировке теорема Стоуна допускает дальнейшее обобщение: пусть нам дана нелинейная унарная операция вида f--->p(f), где p:R--->R некоторая нелинейная непрерывная функция.

Если линейное подпространство A замкнуто относительно p(.), то есть p(A) в A, тогда замыкание A есть все C(K), еще раз напомню, что в классической теореме p(f)=f^2.

Это обобщение имеет интереснейшие приложения, например, что любой многочлен нескольких переменных представим в виде суперпозиции любого нелинейного многочлена одной переменной и линейных функций.

За подробностями, смотри статьи:

MR1714217 (2000k:46071)
Gorban', A. N.(RS-AOSSI-C2)
The generalized Stone approximation theorem for arbitrary algebras of functions. (Russian)
Dokl. Akad. Nauk 365 (1999), no. 5, 586--588.

MR1629003
Gorban', A. N.(RS-AOSSI-IC)
Approximation of continuous functions of several variables by an arbitrary nonlinear continuous function of one variable, linear functions, and their superpositions. (English. English summary)
Appl. Math. Lett. 11 (1998), no. 3, 45--49.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments